Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari. Trigonometrik tengsizliklarni yechish Oddiy trigonometrik tengsizliklarni aniq misollar yordamida yechish
Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish
Birinchidan, eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish formulalarini eslaylik.
- $sinx=a$
- $cosx=a$
- $tgx=a$
- $ctgx=a$
Oddiy trigonometrik tengsizliklarni yechish.
Eng oddiy trigonometrik tengsizliklarni yechish uchun avvalo tegishli tenglamani yechishimiz kerak, keyin esa trigonometrik aylana yordamida tengsizlikning yechimini topishimiz kerak. Eng oddiy trigonometrik tengsizliklarning yechimlarini misollar yordamida ko‘rib chiqamiz.
1-misol
$sinx\ge \frac(1)(2)$
$sinx=\frac(1)(2)$ trigonometrik tengsizlikning yechimini topamiz.
\ \
1-rasm. $sinx\ge \frac(1)(2)$ tengsizlikni yechish.
Tengsizlik "katta yoki teng" belgisiga ega bo'lganligi sababli, yechim aylananing yuqori yoyida yotadi (tenglamaning yechimiga nisbatan).
Javob: $\left[\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(5\pi )(6)+2\pi n\right]$.
2-misol
$cosx=\frac(\sqrt(3))(2)$ trigonometrik tengsizlikning yechimini topamiz.
\ \
Trigonometrik doirada yechimni belgilaymiz
Tengsizlik “kichikroq” belgisiga ega bo'lganligi sababli, yechim chap tomonda joylashgan aylana yoyida yotadi (tenglamaning yechimiga nisbatan).
Javob: $\left(\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(11\pi )(6)+2\pi n\right)$.
3-misol
$tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$
$tgx=\frac(\sqrt(3))(3)$ trigonometrik tengsizlikning yechimini topamiz.
\ \
Bu erda bizga ta'rif sohasi ham kerak. Esda tutganimizdek, tangens funksiyasi $x\ne \frac(\pi )(2)+\pi n,n\da Z$
Trigonometrik doirada yechimni belgilaymiz
3-rasm. $tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$ tengsizlikni yechish.
Tengsizlik "kichik yoki teng" belgisiga ega bo'lganligi sababli, yechim 3-rasmda ko'k rang bilan belgilangan aylana yoylarida yotadi.
Javob:$\ \left(-\frac(\pi )(2)+2\pi n\o'ng.,\left.\frac(\pi )(6)+2\pi n\o'ng]\chashka \chap (\frac(\pi )(2)+2\pi n,\o‘ng.\chap.\frac(7\pi )(6)+2\pi n\o‘ng]$
4-misol
$ctgx=\sqrt(3)$ trigonometrik tengsizlikning yechimini topamiz.
\ \
Bu erda bizga ta'rif sohasi ham kerak. Esda tutganimizdek, Z$ da tangens funksiyasi $x\ne \pi n,n\
Trigonometrik doirada yechimni belgilaymiz
4-rasm. $ctgx\le \sqrt(3)$ tengsizlikning yechimi.
Tengsizlik "kattaroq" belgisiga ega bo'lganligi sababli, yechim 4-rasmda ko'k rang bilan belgilangan dumaloq yoylarda yotadi.
Javob:$\ \left(2\pi n,\frac(\pi )(6)+2\pi n\right)\chashka \left(\pi +2\pi n,\frac(7\pi )( 6)+2\pi n\o‘ng)$
TA'RIF
Trigonometrik tengsizliklar - trigonometrik funktsiya belgisi ostida o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tengsizliklar.
Trigonometrik tengsizliklarni yechish
Trigonometrik tengsizliklarni yechish ko'pincha quyidagi ko'rinishdagi eng oddiy trigonometrik tengsizliklarni echishga to'g'ri keladi: \(\ \sin x a \), \(\ \cos x > a \), \(\ \operatorname(tg) x > a \), \(\ \ operator nomi(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \operator nomi(tg) x \leq a \), \ (\ \operator nomi (ctg) x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \operator nomi(tg) x \geq a \ ), \(\ \operator nomi(tg) x \geq a \)
Eng oddiy trigonometrik tengsizliklar grafik yoki birlik trigonometrik doira yordamida yechiladi.
Ta'rifga ko'ra, burchakning sinusi \(\\alfa \) birlik doirasining \(\P_(\alpha)(x, y)\) nuqtasining ordinatasi (1-rasm), kosinus esa bu nuqtaning abscissasi. Bu fakt kosinus va sinus bilan oddiy trigonometrik tengsizliklarni birlik doirasi yordamida yechish uchun ishlatiladi.
Trigonometrik tengsizliklarni yechishga misollar
Tengsizlikni yeching \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)
\(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| bo'lgani uchun bu tengsizlik yechimga ega va uni ikki usulda yechish mumkin.
Birinchi yo'l. Keling, bu tengsizlikni grafik tarzda yechaylik. Buning uchun sinusning \(\ y=\sin x \) (2-rasm) va \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) to‘g‘ri chiziq grafigini tuzamiz. bitta koordinata tizimi
Sinusoidning \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) to'g'ri chiziq grafigidan pastda joylashgan oraliqlarini ajratib ko'rsatamiz. Ushbu grafiklarning kesishish nuqtalarining \(\ x_(1) \) va \(\ x_(2) \) abscissalarini topamiz: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt() 3))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+ 2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
Biz \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) oralig'ini oldik, lekin \(\ y=\sin x \) funktsiyasidan beri davriy bo'lib, \(\ 2 \pi \) davriga ega bo'lsa, javob oraliqlar birligi bo'ladi: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac( 7 \pi)(3)+ 2 \pi k\o'ng]\), \(\k \in Z\)
Ikkinchi yo'l. Birlik aylana va to'g'ri chiziq quramiz \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \), ularning kesishish nuqtalarini \(\ P_(x_(1)) \) va \ ni belgilaymiz. (\ P_(x_(2 )) \) (3-rasm). Asl tengsizlikning yechimi \(\ \frac(\sqrt(3))(2) \) dan kichik bo'lgan ordinata nuqtalari to'plami bo'ladi. \(\ \boldsymbol(I)_(1) \) va \(\ \boldsymbol(I)_(2) \) qiymatini soat miliga teskari aylanib, topamiz, \(\ x_(1) 3-rasm.
\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
Sinus funksiyasining davriyligini hisobga olib, biz nihoyat \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \ intervallarni olamiz. pi\o'ng] \), \(\k\in Z\)
Tengsizlikni yeching \(\ \sin x>2\)
Sinus chegaralangan funksiya: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , va bu tengsizlikning o'ng tomoni bittadan katta, shuning uchun yechimlar yo'q.
Tengsizlikni yeching \(\ \cos x>\frac(1)(2) \)
Bu tengsizlikni ikki usulda yechish mumkin: grafik va birlik doirasi yordamida. Keling, usullarning har birini ko'rib chiqaylik.
Birinchi yo'l. Bir koordinatalar sistemasida tengsizlikning chap va o'ng tomonlarini tavsiflovchi funksiyalarni, ya'ni \(\ y=\cos x \) va \(\ y=\frac(1)(2) \) ni tasvirlaylik. \(\ y=\cos x \) kosinus funksiya grafigi \(\ y=\frac(1)(2) \) toʻgʻri chiziq grafigidan yuqorida joylashgan oraliqlarni ajratib koʻrsatamiz (4-rasm). ).
\(\ \qalin belgi(x)_(1) \) va \(\ x_(2) \) nuqtalarining abstsissalarini topamiz – \(\ y=\cos x funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalari. \) va \(\ y=\frac (1)(2) \) , ular ko'rsatilgan tengsizlik o'rinli bo'lgan intervallardan birining uchlaridir. \(\x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3)\); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)
Kosinus davriy funktsiya ekanligini hisobga olsak, \(\ 2 \pi \) davri bilan javob \(\ \left(-\frac(\pi)) oraliqlaridagi \(\ x \) qiymatlari bo'ladi. (3)+2 \pi k \frac(\pi)(3)+2 \pi k\o'ng) \), \(\ k \in Z \)
Ikkinchi yo'l. Keling, birlik aylana va to'g'ri chiziq quraylik \(\x=\frac(1)(2)\) (bundan buyon birlik doirasi Abscissa o'qi kosinuslarga mos keladi). \(\ P_(x_(1)) \) va \(\ P_(x_(2)) \) (5-rasm) - to'g'ri chiziq va birlik doiraning kesishish nuqtalarini belgilaymiz. Asl tenglamaning yechimi \(\ \frac(1)(2) \) dan kichik bo'lgan abscissa nuqtalari to'plami bo'ladi. Keling, \(\ x_(1) \) va \(\ 2 \) qiymatini soat miliga teskari yo'nalishda aylanib chiqamiz, shunda \(\ x_(1) Kosinusning davriyligini hisobga olib, biz nihoyat intervallarni olamiz \( \ \left(-\frac (\pi)(3)+2 \pi k; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \),\(\k \in Z \)
Tengsizlikni yeching \(\ \operatorname(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \)
\(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \) funksiyalarning grafiklarini bitta koordinatalar tizimida tuzamiz.
\(\ y=\operatorname(ctg) x \) funksiya grafigi \(\ y=-\frac(\sqrt(3)) toʻgʻri chiziq grafigidan baland boʻlmagan oraliqlarni ajratib koʻrsatamiz. )(3) \) (6-rasm) .
\(\ x_(0) \) nuqtaning abssissasini topamiz, u tengsizlik \(\ x_(0)=\operatorname(arcctg)\left(-\frac() bo'lgan oraliqlardan birining oxiri hisoblanadi. \sqrt(3))( 3)\right)=\pi-\operatorname(arcctg)\left(\frac(\sqrt(3))(3)\right)=\pi-\frac(\pi)( 3)=\frac(2 \pi)(3)\)
Bu oraliqning ikkinchi uchi \(\ \pi \) nuqtadir va bu nuqtadagi \(\ y=\operatorname(ctg) x \) funksiyasi aniqlanmagan. Shunday qilib, bu tengsizlikning yechimlaridan biri \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x intervalidir.
Murakkab argumentli trigonometrik tengsizliklar
Murakkab argumentli trigonometrik tengsizliklarni almashtirish yordamida oddiy trigonometrik tengsizliklarga keltirish mumkin. Uni yechigach, teskari almashtirish amalga oshiriladi va asl noma'lum ifodalanadi.
Tengsizlikni yeching \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)
Ushbu tengsizlikning o'ng tomonidagi kosinusni ifodalaymiz: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)
Biz almashtirishni amalga oshiramiz \(\ t=2 x+100^(\circ) \) , shundan so'ng bu tengsizlik eng oddiy tengsizlikka aylantiriladi \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \)
Keling, uni birlik doirasi yordamida hal qilaylik. Birlik aylana va to'g'ri chiziq quramiz \(\ x=-\frac(1)(2) \) . \(\P_(1)\) va \(\P_(2)\) - to'g'ri chiziq va birlik doiraning kesishish nuqtalarini belgilaymiz (7-rasm).
Asl tengsizlikning yechimi \(\ -\frac(1)(2)\) dan ko'p bo'lmagan abscissa nuqtalari to'plami bo'ladi. \(\ P_(1) \) nuqtasi burchakka mos keladi \(\ 120^(\circ) \) , va nuqta \(\ P_(2) \) . Shunday qilib, kosinus davrini hisobga olib, \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ) ni olamiz. \cdot n \) ,\(\n\Z\da)
Teskari o‘zgarishlarni amalga oshiramiz \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^ (\ circ)+360^(\circ) \cdot n\), \(\n \in Z\)
Avval \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot n \ ni ayirish uchun \(\ \mathbf(x) \) ifodalaymiz. leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \n\ Z\ da); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z\)
va keyin 2 ga bo'ling \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^ (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\n \in Z\); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)
Ikki tomonlama trigonometrik tengsizliklar
Ikki trigonometrik tengsizlikni yeching \(\ \frac(1)(2)
\(\ t=\frac(x)(2) \) almashtirishni kiritamiz, keyin asl tengsizlik \(\ \frac(1)(2) ko'rinishini oladi.
Keling, uni birlik doirasi yordamida hal qilaylik. Birlik doiradagi ordinata o'qi sinusga to'g'ri kelganligi sababli, biz uning ustida ordinatalari \(\ x=\frac(1)(2) \) dan katta va \(\ dan kichik yoki teng bo'lgan ordinatalar to'plamini tanlaymiz. \ frac (\ sqrt (2)) (2 ) \) . 8-rasmda bu nuqtalar \(\P_(t_(1))\), \(\P_(t_(2))\) va \(\P_(t_(3))\) yoylarida joylashadi. , \( \P_(t_(4))\) . \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \) qiymatini soat miliga teskari aylanib, topamiz va \ (\t_(1)\(\t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)=\frac(3\ pi)(4)\); \(\t_(4)=\pi-\arcsin \frac(1)(2)=\pi-\frac(\pi)(6)=\frac(5 \pi) (6)\)
Shunday qilib, biz ikkita intervalni olamiz, ular sinus funksiyasining davriyligini hisobga olgan holda, quyidagi tarzda yozilishi mumkin \(\ \frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi) (4)+2 \ pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k teskari o'zgarishlarni amalga oshiramiz \(\ t=\frac(x)(2) \frac(\pi)( 6)+2 \pi k \ leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \), \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \ pi k \(\ \mathbf( x) \) ifodalaymiz, buning uchun ikkala tengsizlikning barcha tomonlarini 2 ga ko'paytirsak, \(\ \frac(\pi)(3)+4 \pi k \leq olamiz. x
TRIGONOMETRIK TENGSIZLIKLARNI YECHISH USULLARI
Muvofiqlik. Tarixan trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar maktab o‘quv dasturida alohida o‘rin tutgan. Aytishimiz mumkinki, trigonometriya eng muhim bo'limlardan biridir maktab kursi va hammasi matematika fani umuman.
Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar o'rta maktab matematika kursida ham mazmunan markaziy o'rinlardan birini egallaydi. o'quv materiali, va o'quv va kognitiv faoliyat usullariga ko'ra, ularni o'rganish davomida shakllantirilishi va hal qilinishi kerak. katta raqam nazariy va amaliy xarakterdagi muammolar.
Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni echish talabalarning trigonometriya bo'yicha barcha o'quv materiallariga oid bilimlarini tizimlashtirish uchun zarur shart-sharoitlarni yaratadi (masalan, trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlari, transformatsiya texnikasi). trigonometrik ifodalar h.k.) va algebra fanidan o‘rganilayotgan material (tenglamalar, tenglamalar ekvivalentligi, tengsizliklar, algebraik ifodalarni bir xil o‘zgartirishlar va boshqalar) bilan samarali aloqa o‘rnatish imkonini beradi.
Boshqacha qilib aytganda, trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni echish usullarini ko'rib chiqish ushbu ko'nikmalarni yangi mazmunga o'tkazishni o'z ichiga oladi.
Nazariyaning ahamiyati va uning ko'plab qo'llanilishi tanlangan mavzuning dolzarbligidan dalolat beradi. Bu o'z navbatida kurs ishining maqsadi, vazifalari va tadqiqot mavzusini aniqlash imkonini beradi.
Tadqiqot maqsadi: trigonometrik tengsizliklarning mavjud turlarini, ularni yechishning asosiy va maxsus usullarini umumlashtirish, maktab o‘quvchilari tomonidan trigonometrik tengsizliklarni yechish uchun masalalar to‘plamini tanlash.
Tadqiqot maqsadlari:
1. Tadqiqot mavzusi bo'yicha mavjud adabiyotlarni tahlil qilish asosida materialni tizimlashtirish.
2. “Trigonometrik tengsizliklar” mavzusini mustahkamlash uchun zarur bo‘lgan topshiriqlar to‘plamini taqdim eting.
O'rganish ob'ekti maktab matematika kursidagi trigonometrik tengsizliklardir.
O'rganish mavzusi: trigonometrik tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari.
Nazariy ahamiyati materialni tizimlashtirishdan iborat.
Amaliy ahamiyati: nazariy bilimlarni masalalar yechishda qo‘llash; trigonometrik tengsizliklarni yechishning asosiy umumiy usullarini tahlil qilish.
Tadqiqot usullari : tahlil ilmiy adabiyotlar, olingan bilimlarni sintez va umumlashtirish, masalalar yechish tahlili, tengsizliklarni yechishning optimal usullarini izlash.
§1. Trigonometrik tengsizliklar turlari va ularni yechishning asosiy usullari
1.1. Eng oddiy trigonometrik tengsizliklar
yoki > belgisi bilan bogʻlangan ikkita trigonometrik ifoda trigonometrik tengsizliklar deyiladi.
Trigonometrik tengsizlikni yechish deganda tengsizlik qanoatlantiriladigan tengsizlikka kiritilgan noma’lumlar qiymatlari to‘plamini topish tushuniladi.
Trigonometrik tengsizliklarning asosiy qismi ularni eng oddiy yechimga keltirish orqali yechiladi:
Bu faktorizatsiya, o'zgaruvchini o'zgartirish usuli bo'lishi mumkin ( 
, 
va hokazo), bu erda birinchi navbatda odatiy tengsizlik, keyin esa shaklning tengsizligi hal qilinadi 
va boshqalar yoki boshqa usullar.
Eng oddiy tengsizliklarni ikki usulda yechish mumkin: birlik doirasi yordamida yoki grafik.
Maylif(x
– asosiy trigonometrik funksiyalardan biri. Tengsizlikni yechish uchun 
uning yechimini bir davrda topish kifoya, ya'ni. uzunligi funksiya davriga teng bo'lgan har qanday segmentdaf
x
. Shunda asl tengsizlikning yechimi topiladix
, shuningdek, funktsiya davrlarining har qanday butun soni bilan topilgan qiymatlardan farq qiladigan qiymatlar. Bunday holda, grafik usuldan foydalanish qulay.
Tengsizliklarni yechish algoritmiga misol keltiramiz 
(
) Va 
.
Tengsizlikni yechish algoritmi (
).
1. Sonning sinus ta’rifini tuzingx birlik aylanasida.
3. Ordinata o'qida nuqtani koordinatasi bilan belgilanga .
4. orqali bu nuqta OX o'qiga parallel to'g'ri chiziq chizing va uning kesishish nuqtalarini aylana bilan belgilang.
5. Barcha nuqtalari ordinatasidan kichik bo'lgan aylana yoyini tanlanga .
6. Turning yo‘nalishini (soat miliga teskari) ko‘rsating va oraliq uchlariga funksiya davrini qo‘shib javobni yozing.2p
,
.
Tengsizlikni yechish algoritmi .
1. Son tangensining ta’rifini tuzingx birlik aylanasida.
2. Birlik doirasini chizing.
3. Tangenslar chizig'ini chizing va ordinatasi bo'lgan nuqtani belgilanga .
4. Bu nuqtani koordinata bilan bog'lang va hosil bo'lgan segmentning birlik doirasi bilan kesishgan nuqtasini belgilang.
5. Doira yoyini tanlang, uning barcha nuqtalari teginish chizig'ida ordinatasidan kichik bo'ladia .
6. O‘tish yo‘nalishini ko‘rsating va nuqta qo‘shib, funksiyaning aniqlanish sohasini hisobga olgan holda javob yozing.pn
,
(kirishning chap tomonidagi raqam har doim o'ngdagi raqamdan kamroq).
Oddiy tenglamalar yechimlarining grafik talqini va tengsizliklarni yechish formulalari umumiy ko'rinish ilovada ko'rsatilgan (1 va 2-ilovalar).
1-misol.
Tengsizlikni yeching 
.
Birlik doirasiga to'g'ri chiziq chizing 
, u aylanani A va B nuqtalarda kesib o'tadi.
Barcha ma'nolary
oraliqda NM kattaroqdir
, AMB yoyining barcha nuqtalari bu tengsizlikni qanoatlantiradi. Barcha aylanish burchaklarida, katta 
, lekin kichikroq 
,
kattaroq qadriyatlarni qabul qiladi
(lekin bittadan ortiq emas).
1-rasm
Shunday qilib, tengsizlikning yechimi intervaldagi barcha qiymatlar bo'ladi 
, ya'ni. 
. Ushbu tengsizlikning barcha yechimlarini olish uchun ushbu intervalning uchlarini qo'shish kifoya 
, Qayerda 
, ya'ni. 
,
.
E'tibor bering, qiymatlar 
Va 
tenglamaning ildizlaridir 
,
bular. 
;
.
Javob: 
, .
1.2. Grafik usul
Amalda trigonometrik tengsizliklarni echishning grafik usuli ko'pincha foydali bo'lib chiqadi. Keling, tengsizlik misolida usulning mohiyatini ko'rib chiqaylik 
:
1. Agar argument murakkab bo'lsa (dan farqliX ), keyin uni bilan almashtiringt .
2. Biz bitta koordinatali tekislikda quramizo'yin
funksiya grafiklari 
Va 
.
3. Biz shunday topamizgrafiklarning kesishishning ikkita qo'shni nuqtasi, ular orasidasinus to'lqinijoylashganyuqoriroq
Streyt . Bu nuqtalarning abssissalarini topamiz.
4. Argument uchun qo‘sh tengsizlikni yozingt , kosinus davrini hisobga olgan holda (t topilgan abscissalar orasida bo'ladi).
5. Teskari almashtirishni amalga oshiring (asl argumentga qaytish) va qiymatni ifodalangX qo'sh tengsizlikdan javobni son oralig'i shaklida yozamiz.
2-misol. Tengsizlikni yeching: .
Tengsizliklarni grafik usul yordamida yechishda funksiyalar grafiklarini iloji boricha aniq qurish kerak. Tengsizlikni quyidagi shaklga aylantiramiz:
Bitta koordinata sistemasidagi funksiyalar grafiklarini tuzamiz 
Va 
(2-rasm).
2-rasm
Funksiyalarning grafiklari nuqtada kesishadiA
koordinatalari bilan 
; 
. Orasida 
grafik nuqtalari 
grafik nuqtalari ostida 
. Va qachon funktsiya qiymatlari bir xil. Shunung uchun da 
.
Javob: 
.
1.3. Algebraik usul
Ko'pincha, dastlabki trigonometrik tengsizlikni yaxshi tanlangan almashtirish orqali algebraik (ratsional yoki irratsional) tengsizlikka tushirish mumkin. Bu usul tengsizlikni o'zgartirish, almashtirishni kiritish yoki o'zgaruvchini almashtirishni o'z ichiga oladi.
Keling, ko'rib chiqaylik aniq misollar ushbu usulni qo'llash.
3-misol.
Eng oddiy shaklga qisqartirish 
.
(3-rasm)
3-rasm
, 
.
Javob: 
,
4-misol. Tengsizlikni yeching:
ODZ: 
, 
.
Formulalardan foydalanish: 
, 
Tengsizlikni quyidagi shaklda yozamiz: 
.
Yoki, ishonish 
oddiy o'zgarishlardan keyin biz olamiz
,
,
.
Oxirgi tengsizlikni intervalli usul yordamida yechish orqali biz quyidagilarga erishamiz:
4-rasm
, mos ravishda 
. Keyin rasmdan. 4 tasi 
, Qayerda 
.
5-rasm
Javob: 
, 
.
1.4. Intervalli usul
Intervalli usul yordamida trigonometrik tengsizliklarni yechishning umumiy sxemasi:
Trigonometrik formulalar yordamida faktor.
Funksiyaning uzilish nuqtalari va nollarini toping va ularni aylanaga joylashtiring.
Har qanday nuqtani olingTO (lekin ilgari topilmagan) va mahsulotning belgisini bilib oling. Agar mahsulot musbat bo'lsa, u holda burchakka mos keladigan nurga birlik doirasidan tashqarida nuqta qo'ying. Aks holda, nuqtani doira ichiga qo'ying.
Agar nuqta juft marta sodir bo'lsa, biz uni juft ko'plik nuqtasi deb ataymiz; Yoylarni quyidagicha chizing: nuqtadan boshlangTO , agar keyingi nuqta toq ko'plik bo'lsa, u holda bu nuqtada yoy aylana bilan kesishadi, lekin agar nuqta juft ko'plik bo'lsa, u holda kesishmaydi.
Doira orqasidagi yoylar musbat intervallardir; doira ichida salbiy bo'shliqlar mavjud.
5-misol. Tengsizlikni yechish
, 
.
Birinchi seriyaning nuqtalari: 
.
Ikkinchi seriyaning nuqtalari: 
.
Har bir nuqta toq marta sodir bo'ladi, ya'ni barcha nuqtalar toq ko'plikdir.
Keling, mahsulotning belgisini bilib olaylik 
: . Keling, birlik doiradagi barcha nuqtalarni belgilaymiz (6-rasm):
Guruch. 6
Javob: 
, 
; 
, 
; 
, 
.
6-misol . Tengsizlikni yeching.
Yechim:
Keling, ifodaning nollarini topamiz .
Qabul qilishaem :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
Birlik doirasi qator qiymatlaridaX
1
nuqtalar bilan ifodalanadi 
. SeriyaX
2
ball beradi 
. Bir qatorX
3
ikkita ochko olamiz 
. Nihoyat, seriyaX
4
nuqtalarni ifodalaydi 
. Keling, bu nuqtalarning barchasini birlik doirasiga chizamiz, ularning har birining yonidagi qavs ichida uning ko'pligini ko'rsatamiz.
Endi raqamga ruxsat bering 
teng bo'ladi. Keling, belgiga qarab taxmin qilaylik:
Shunday qilib, to'liq to'xtashA
burchakni tashkil etuvchi nurda tanlanishi kerak 
nur bilanOh,
birlik doirasidan tashqarida. (Yordamchi nurga e'tibor beringHAQIDA
A
Uni rasmda tasvirlash umuman shart emas. NuqtaA
taxminan tanlanadi.)
Endi nuqtadanA
barcha belgilangan nuqtalarga ketma-ket to'lqinli uzluksiz chiziq torting. Va nuqtalarda bizning chiziq bir sohadan ikkinchisiga o'tadi: agar u birlik doirasidan tashqarida bo'lsa, u holda uning ichiga kiradi. Nuqtaga yaqinlashish 
, chiziq ichki mintaqaga qaytadi, chunki bu nuqtaning ko'pligi juft. Xuddi shu nuqtada 
(juft ko'plik bilan) chiziqni tashqi mintaqaga aylantirish kerak. Shunday qilib, biz rasmda ko'rsatilgan ma'lum bir rasmni chizdik. 7. Birlik doirasidagi kerakli joylarni ajratib ko'rsatishga yordam beradi. Ular "+" belgisi bilan belgilanadi.
7-rasm
Yakuniy javob:
Eslatma. Agar to'lqinsimon chiziq birlik doirasida belgilangan barcha nuqtalarni aylanib o'tib, nuqtaga qaytarilmasaA , doirani "noqonuniy" joyda kesib o'tmasdan, bu yechimda xatolikka yo'l qo'yilganligini anglatadi, ya'ni toq sonli ildizlar o'tkazib yuborilgan.
Javob: .
§2. Trigonometrik tengsizliklarni yechish masalalari to‘plami
Maktab o'quvchilarining trigonometrik tengsizliklarni yechish qobiliyatini rivojlantirish jarayonida 3 bosqichni ham ajratib ko'rsatish mumkin.
1. tayyorgarlik,
2. oddiy trigonometrik tengsizliklarni yechish qobiliyatini rivojlantirish;
3. boshqa turdagi trigonometrik tengsizliklarni kiritish.
Tayyorgarlik bosqichining maqsadi shundaki, maktab o'quvchilarida tengsizliklarni echish uchun trigonometrik doira yoki grafikdan foydalanish qobiliyatini rivojlantirish kerak, xususan:
Shaklning oddiy tengsizliklarini yechish qobiliyati ,
, ,
,
sinus va kosinus funksiyalarining xossalaridan foydalanish;
Son doira yoylari yoki funksiyalar grafiklari yoylari uchun qo‘sh tengsizliklarni qurish qobiliyati;
Trigonometrik ifodalarni turli xil o'zgartirishlarni amalga oshirish qobiliyati.
Ushbu bosqichni maktab o'quvchilarining trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlari haqidagi bilimlarini tizimlashtirish jarayonida amalga oshirish tavsiya etiladi. Asosiy vositalar talabalarga taklif qilinadigan va o'qituvchi rahbarligida yoki mustaqil ravishda bajariladigan topshiriqlar, shuningdek, trigonometrik tenglamalarni yechishda shakllangan ko'nikmalar bo'lishi mumkin.
Mana shunday vazifalarga misollar:
1
. Birlik doirasiga nuqta belgilang 
, Agar
.
2.
Nuqta koordinata tekisligining qaysi choragida joylashgan? , Agar 
teng: 
3.
Trigonometrik doiradagi nuqtalarni belgilang , Agar:
4. Ifodani trigonometrik funksiyalarga aylantiringIchorak.
A) 
,
b) 
,
V) 
5. Arc MR beriladi.M - o'rtadaI- chorak,R - o'rtadaIIth chorak. O'zgaruvchining qiymatini cheklasht uchun: (qo'sh tengsizlik hosil qiling) a) MR yoyi; b) RM yoylari.
6. Grafikning tanlangan bo'limlari uchun ikki barobar tengsizlikni yozing:
Guruch. 1
7.
Tengsizliklarni yechish 
, 
, 
, 
.
8. Ifodani aylantirish .
Trigonometrik tengsizliklarni yechishni o'rganishning ikkinchi bosqichida o'quvchilar faoliyatini tashkil etish metodikasi bilan bog'liq quyidagi tavsiyalarni berishimiz mumkin. Bunda o’quvchilarning eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechishda hosil qilingan trigonometrik doira yoki grafik bilan ishlash bo’yicha mavjud ko’nikmalariga e’tibor qaratish lozim.
Birinchidan, eng oddiy trigonometrik tengsizliklarni echishning umumiy usulini olishning maqsadga muvofiqligini, masalan, shaklning tengsizligiga o'tish orqali rag'batlantirish mumkin. 
.
Tayyorgarlik bosqichida olingan bilim va ko'nikmalardan foydalanib, talabalar taklif qilingan tengsizlikni shaklga keltiradilar 
, lekin natijada paydo bo'lgan tengsizlikning yechimlari to'plamini topish qiyin bo'lishi mumkin, chunki Uni faqat sinus funksiyasining xossalari yordamida yechish mumkin emas. Tegishli rasmga murojaat qilish (tenglamani grafik tarzda yechish yoki birlik doirasi yordamida) bu qiyinchilikdan qochish mumkin.
Ikkinchidan, o'qituvchi o'quvchilar e'tiborini topshiriqni bajarishning turli usullariga qaratishi, tengsizlikni grafik va trigonometrik doira yordamida yechishning tegishli misolini keltirishi kerak.
Keling, tengsizlikning quyidagi yechimlarini ko'rib chiqaylik .
1. Birlik doirasi yordamida tengsizlikni yechish.
Trigonometrik tengsizliklarni yechish bo‘yicha birinchi darsda biz o‘quvchilarga bosqichma-bosqich taqdimotda tengsizlikni yechish uchun zarur bo‘lgan barcha asosiy ko‘nikmalarni aks ettiruvchi batafsil yechim algoritmini taklif qilamiz.
1-qadam.Keling, birlik aylana chizamiz va ordinata o'qidagi nuqtani belgilaymiz 
va u orqali x o'qiga parallel to'g'ri chiziq o'tkazing. Bu chiziq birlik doirasini ikki nuqtada kesib o'tadi. Ushbu nuqtalarning har biri sinusi teng bo'lgan raqamlarni ifodalaydi .
2-qadam.Bu to'g'ri chiziq doirani ikki yoyga bo'ldi. Keling, sinusidan katta bo'lgan raqamlarni tasvirlaydigan birini tanlaylik . Tabiiyki, bu yoy chizilgan to'g'ri chiziq ustida joylashgan.
Guruch. 2
3-qadam.Belgilangan yoyning uchlaridan birini tanlang. Keling, birlik doirasining bu nuqtasi bilan ifodalangan raqamlardan birini yozamiz 
.
4-qadam.Tanlangan yoyning ikkinchi uchiga mos keladigan raqamni tanlash uchun biz ushbu yoy bo'ylab nomlangan uchidan ikkinchisiga "yuramiz". Shu bilan birga, esda tutingki, soat miliga teskari yo'nalishda harakatlanayotganda, biz o'tadigan raqamlar ko'payadi (teskari yo'nalishda harakatlanayotganda raqamlar kamayadi). Belgilangan yoyning ikkinchi uchiga birlik aylanasida tasvirlangan raqamni yozamiz 
.
Shunday qilib, biz tengsizlikni ko'ramiz tengsizlik to‘g‘ri bo‘lgan sonlarni qanoatlantiring 
. Sinus funksiyasining bir xil davrida joylashgan sonlar uchun tengsizlikni yechdik. Shuning uchun tengsizlikning barcha yechimlarini ko'rinishda yozish mumkin 
Talabalardan chizmani sinchkovlik bilan tekshirish va tengsizlikning barcha yechimlari nima uchun ekanligini aniqlashni so'rash kerak shaklida yozilishi mumkin 
, 
.
Guruch. 3
Kosinus funksiyasi uchun tengsizliklarni yechishda ordinata o'qiga parallel to'g'ri chiziq o'tkazamiz, deb o'quvchilar e'tiborini qaratish lozim.
Grafik usul tengsizliklarning yechimlari.
Biz grafiklarni yaratamiz 
Va 
, sharti bilan; inobatga olgan holda 
.
Guruch. 4
Keyin tenglamani yozamiz 
va uning qarori 
, 
, 
, formulalar yordamida topilgan 
, 
, 
.
(Beribn
qiymatlari 0, 1, 2, biz tuzilgan tenglamaning uchta ildizini topamiz). Qiymatlar 
grafiklarning kesishish nuqtalarining ketma-ket uchta abtsissasi Va . Shubhasiz, har doim intervalda 
tengsizlik mavjud 
, va intervalda 
- tengsizlik 
. Bizni birinchi holat qiziqtiradi va keyin bu oraliqning uchlariga sinus davrining karrali sonini qo'shsak, biz tengsizlikning yechimini olamiz. sifatida: 
, .
Guruch. 5
Xulosa qiling. Tengsizlikni yechish uchun , mos keladigan tenglamani tuzib, uni yechish kerak. Olingan formuladan ildizlarni toping 
Va 
, va tengsizlikning javobini quyidagi shaklda yozing: , .
Uchinchidan, tegishli trigonometrik tengsizlikning ildizlar to'plami haqidagi fakt uni grafik tarzda yechishda juda aniq tasdiqlanadi.
Guruch. 6
Tengsizlikning yechimi bo'lgan burilish trigonometrik funktsiya davriga teng bo'lgan bir xil intervalda takrorlanishini talabalarga ko'rsatish kerak. Sinus funksiyasining grafigi uchun shunga o'xshash rasmni ham ko'rib chiqishingiz mumkin.
To‘rtinchidan, trigonometrik funksiyalar yig‘indisini (farqini) ko‘paytmaga aylantirishda o‘quvchilarning texnikasini yangilash, trigonometrik tengsizliklarni yechishda bu usullarning o‘rni haqida o‘quvchilar e’tiborini jalb qilish bo‘yicha ishlarni olib borish maqsadga muvofiqdir.
Bunday ishni talabalar o'qituvchi tomonidan taklif qilingan topshiriqlarni mustaqil bajarishlari orqali tashkil qilish mumkin, ular orasida biz quyidagilarni ajratib ko'rsatamiz:
Beshinchidan, talabalardan har bir oddiy trigonometrik tengsizlikning yechimini grafik yoki trigonometrik doira yordamida tasvirlash talab qilinishi kerak. Siz uning maqsadga muvofiqligiga, ayniqsa aylanadan foydalanishga e'tibor berishingiz kerak, chunki trigonometrik tengsizliklarni echishda tegishli rasm berilgan tengsizlikka yechimlar to'plamini yozish uchun juda qulay vosita bo'lib xizmat qiladi.
Talabalarni eng oddiy bo'lmagan trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari bilan quyidagi sxema bo'yicha tanishtirish tavsiya etiladi: ma'lum bir trigonometrik tengsizlikka o'tish, tegishli trigonometrik tenglamaga o'tish (o'qituvchi - talabalar) yechimni mustaqil ravishda o'tkazish uchun. bir xil turdagi boshqa tengsizliklar uchun usul topildi.
Talabalarning trigonometriya haqidagi bilimlarini tizimlashtirish uchun biz bunday tengsizliklarni maxsus tanlashni tavsiya qilamiz, ularning yechimi uni yechish jarayonida amalga oshirilishi mumkin bo'lgan turli xil o'zgarishlarni talab qiladi va o'quvchilar e'tiborini ularning xususiyatlariga qaratadi.
Bunday samarali tengsizliklar sifatida, masalan, quyidagilarni taklif qilishimiz mumkin:
Xulosa qilib, biz trigonometrik tengsizliklarni yechish uchun masalalar to'plamiga misol keltiramiz.
1. Tengsizliklarni yeching:
2. Tengsizliklarni yeching: 3. Tengsizliklarning barcha yechimlarini toping: 4. Tengsizliklarning barcha yechimlarini toping:A) 
, shartni qondirish 
;
b) 
, shartni qondirish 
.
5. Tengsizliklarning barcha yechimlarini toping:
A) ;
b) ;
V) 
;
G) 
;
d) 
.
6. Tengsizliklarni yeching:
A) ;
b) ;
V);
G) 
;
d) ;
e) ;
va) 
.
7. Tengsizliklarni yeching:
A) 
;
b) ;
V);
G) .
8. Tengsizliklarni yeching:
A) ;
b) ;
V);
G) 
;
d) 
;
e) ;
va) 
;
h) .
Matematika fanini yuqori bosqichda o‘rganuvchi talabalarga 6 va 7-topshiriqlarni, matematikani chuqur o‘rganadigan sinf o‘quvchilariga 8-topshiriqlarni taklif qilish maqsadga muvofiqdir.
§3. Trigonometrik tengsizliklarni yechishning maxsus usullari
Trigonometrik tenglamalarni echishning maxsus usullari - ya'ni faqat trigonometrik tenglamalarni echish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan usullar. Bu usullar trigonometrik funksiyalarning xossalaridan foydalanishga, shuningdek, turli trigonometrik formulalar va identifikatsiyalardan foydalanishga asoslangan.
3.1. Sektor usuli
Trigonometrik tengsizliklarni yechishning sektor usulini ko‘rib chiqamiz. Shaklning tengsizliklarini yechish 
, QayerdaP
(
x
)
VaQ
(
x
)
– ratsional tengsizliklarni yechishga o‘xshash ratsional trigonometrik funksiyalar (sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar ularga ratsional ravishda kiritilgan). Ratsional tengsizliklarni sonlar qatoridagi intervallar usuli yordamida yechish qulay. Ratsional trigonometrik tengsizliklarni echish uchun uning analogi trigonometrik doiradagi sektorlar usulidir,sinx
Vacosx
(
) yoki trigonometrik yarim doira uchuntgx
Vactgx
(
).
Intervalli usulda shaklning pay va maxrajining har bir chiziqli omili 
raqam o'qi bo'yicha nuqtaga to'g'ri keladi 
, va bu nuqtadan o'tayotganda belgisini o'zgartiradi. Sektor usulida shaklning har bir omili 
, Qayerda 
- funksiyalaridan birisinx
yokicosx
Va 
, trigonometrik doirada ikkita burchak mos keladi 
Va 
, ular doirani ikki sektorga ajratadi. O'tayotganda Va funktsiyasi belgisini o'zgartiradi.
Quyidagilarni yodda tutish kerak:
a) Shakl omillari 
Va 
, Qayerda 
, barcha qiymatlar uchun belgini saqlang 
. Numerator va maxrajning bunday omillari o'zgartirish yo'li bilan o'chiriladi (agar 
) har bir bunday rad etish bilan tengsizlik belgisi teskari bo'ladi.
b) Shakl omillari 
Va 
ham tashlanadi. Bundan tashqari, agar bu maxraj omillari bo'lsa, unda shakldagi tengsizliklar tengsizliklarning ekvivalent tizimiga qo'shiladi. 
Va 
. Agar bular hisoblagichning omillari bo'lsa, u holda ekvivalent cheklovlar tizimida ular tengsizliklarga mos keladi. Va qat'iy boshlang'ich tengsizlik va tenglik holatida 
Va 
qat'iy bo'lmagan boshlang'ich tengsizlik holatida. Ko'paytirgichni tashlaganda 
yoki 
tengsizlik belgisi teskari.
1-misol.
Tengsizliklarni yeching: a) 
, b) 
.
bizda b) funktsiya mavjud. Bizdagi tengsizlikni yeching,
3.2. Konsentrik doira usuli
Bu usul ratsional tengsizliklar tizimini yechish uchun parallel sonlar o'qlari usulining analogidir.
Tengsizliklar sistemasiga misol keltiramiz.
5-misol.
Oddiy trigonometrik tengsizliklar sistemasini yeching 
Birinchidan, har bir tengsizlikni alohida yechamiz (5-rasm). Rasmning yuqori o'ng burchagida trigonometrik doira qaysi argument uchun ko'rib chiqilayotganligini ko'rsatamiz.
5-rasm
Keyinchalik, argument uchun konsentrik doiralar tizimini quramizX . Biz aylana chizamiz va uni birinchi tengsizlikning yechimiga qarab soya qilamiz, keyin kattaroq radiusli doira chizamiz va ikkinchisining yechimiga ko'ra uni soya qilamiz, so'ngra uchinchi tengsizlik uchun doira va asos aylanasini quramiz. Biz nurlarni tizimning markazidan yoylarning uchlari orqali chizamiz, shunda ular barcha doiralarni kesib o'tadi. Asosiy doirada eritma hosil qilamiz (6-rasm).
6-rasm
Javob:
, 
.
Xulosa
Kurs tadqiqotining barcha maqsadlari bajarildi. Tizimlashtirilgan nazariy material: trigonometrik tengsizliklarning asosiy turlari va ularni yechishning asosiy usullari (grafik, algebraik, intervallar usuli, sektorlar va konsentrik doiralar usuli) berilgan. Har bir usul uchun tengsizlikni yechish misoli keltirildi. Nazariy qismdan so‘ng amaliy qism o‘tkazildi. Unda trigonometrik tengsizliklarni yechish uchun vazifalar to‘plami mavjud.
Ushbu kurs ishi talabalar tomonidan ishlatilishi mumkin mustaqil ish. Maktab o'quvchilari ushbu mavzuni o'zlashtirish darajasini tekshirishlari va turli xil murakkablikdagi vazifalarni bajarishda mashq qilishlari mumkin.
Tegishli adabiyotlarni o'rganib chiqib bu masala Shubhasiz, maktab algebra kursida trigonometrik tengsizliklarni yechish qobiliyati va ko'nikmalari va tahlilning boshlanishi juda muhim, ularning rivojlanishi matematika o'qituvchisidan katta kuch talab qiladi, degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Shunung uchun bu ish matematika o‘qituvchilari uchun foydali bo‘ladi, chunki bu o‘quvchilarni “Trigonometrik tengsizliklar” mavzusi bo‘yicha o‘qitishni samarali tashkil etish imkonini beradi.
Tadqiqotni yakuniy malakaviy ishgacha kengaytirish orqali davom ettirish mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati
Bogomolov, N.V. Matematikadan muammolar to'plami [Matn] / N.V. Bogomolov. – M.: Bustard, 2009. – 206 b.
Vygodskiy, M.Ya. Boshlang'ich matematika bo'yicha qo'llanma [Matn] / M.Ya. Vygodskiy. – M.: Bustard, 2006. – 509 b.
Zhurbenko, L.N. Misollar va masalalarda matematika [Matn] / L.N. Jurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 b.
Ivanov, O.A. Maktab o'quvchilari, talabalar va o'qituvchilar uchun boshlang'ich matematika [Matn] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 b.
Karp, A.P. 11-sinfda yakuniy takrorlash va attestatsiyani tashkil qilish uchun algebra va tahlilning boshlanishi bo'yicha topshiriqlar [Matn] / A.P. Karp. – M.: Ta’lim, 2005. – 79 b.
Kulanin, E.D. Matematikadan 3000 ta tanlov muammosi [Matn] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 b.
Leibson, K.L. To'plam amaliy vazifalar matematikada [Matn] / K.L. Leybson. – M.: Bustard, 2010. – 182 b.
Tirsak, V.V. Parametrlar bilan bog'liq muammolar va ularni hal qilish. Trigonometriya: tenglamalar, tengsizliklar, sistemalar. 10-sinf [Matn] / V.V. Tirsak. – M.: ARKTI, 2008. – 64 b.
Manova, A.N. Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rish uchun ekspress repetitor: talaba. qo'llanma [Matn] / A.N. Manova. - Rostov-na-Donu: Feniks, 2012. - 541 p.
Mordkovich, A.G. Algebra va matematik analizning boshlanishi. 10-11 sinflar. Umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik [Matn] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-press, 2009. – 201 b.
Novikov, A.I. Trigonometrik funksiyalar, tenglamalar va tengsizliklar [Matn] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 b.
Oganesyan, V.A. Matematikani o'qitish metodikasi o'rta maktab: Umumiy texnika. Darslik fizika talabalari uchun qo'llanma - mat. fak. ped. Inst. [Matn] / V.A. Oganesyan. – M.: Ta’lim, 2006. – 368 b.
Olehnik, S.N. Tenglamalar va tengsizliklar. Nostandart yechim usullari [Matn] / S.N. Olehnik. – M.: Faktorial nashriyoti, 1997. – 219 b.
Sevryukov, P.F. Trigonometrik, ko'rsatkichli va logarifmik tenglamalar va tengsizliklar [Matn] / P.F. Sevryukov. – M.: Xalq ta’limi, 2008. – 352 b.
Sergeev, I.N. Yagona davlat imtihoni: matematikadan javoblar va echimlar bilan 1000 ta muammo. C guruhining barcha vazifalari [Matn] / I.N. Sergeev. – M.: Imtihon, 2012. – 301 b.
Sobolev, A.B. Boshlang'ich matematika [Matn] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: USTU-UPI oliy kasbiy ta’lim davlat ta’lim muassasasi, 2005. – 81 b.
Fenko, L.M. Tengsizliklarni yechish va funksiyalarni o'rganishda intervallar usuli [Matn] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 b.
Fridman, L.M. Nazariy asos matematika o'qitish metodikasi [Matn] / L.M. Fridman. – M.: “LIBROKOM” kitob uyi, 2009. – 248 b.
1-ilova
Oddiy tengsizliklar yechimlarining grafik talqini
Guruch. 1
Guruch. 2
3-rasm
4-rasm
5-rasm
6-rasm
7-rasm
8-rasm
2-ilova
Oddiy tengsizliklar yechimlari
Belarus Respublikasi Ta'lim vazirligi
Ta'lim muassasasi
"Gomel davlat universiteti
Fransisk Skaryna nomi bilan atalgan.
Matematika fakulteti
Algebra va geometriya kafedrasi
Himoya uchun qabul qilingan
Bosh Kafedra Shemetkov L.A.
Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar
Kurs ishi
Ijrochi:
M-51 guruhi talabasi
SM. Gorskiy
Ilmiy rahbar t.f.n.-m.n.,
Katta o‘qituvchi
V.G. Safonov
Gomel 2008 yil
KIRISH
TRIGONOMETRIK TENGLAMALARNI YECHISHNING ASOSIY USULLARI
Faktorizatsiya
Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasini yig`indiga aylantirish orqali tenglamalarni yechish
Uch argumentli formulalar yordamida tenglamalarni yechish
Ba'zi trigonometrik funktsiyaga ko'paytirish
NOSTANDART TRIGONOMETRİK TENGLAMALAR
TRIGONOMETRIK TENGSIZLIKLAR
ILDIZLARNI TANLASH
MUSTAQIL YECHI UCHUN VAZIFALAR
XULOSA
FOYDALANILGAN MANBALAR RO'YXATI
Qadimda trigonometriya astronomiya, er o'rganish va qurilish ehtiyojlari bilan bog'liq holda paydo bo'lgan, ya'ni u sof geometrik xususiyatga ega bo'lgan va asosan ifodalangan.<<исчисление хорд>>. Vaqt o'tishi bilan ba'zi tahliliy lahzalar unga aralasha boshladi. 18-asrning birinchi yarmida keskin oʻzgarishlar roʻy berdi, shundan soʻng trigonometriya yangi yoʻnalishni egallab, matematik analizga oʻtdi. Aynan shu davrda trigonometrik munosabatlar funktsiya sifatida ko'rib chiqila boshlandi.
Trigonometrik tenglamalar eng ko'plaridan biridir qiyin mavzular maktab matematika kursida. Trigonometrik tenglamalar planimetriya, stereometriya, astronomiya, fizika va boshqa sohalardagi masalalarni yechishda yuzaga keladi. Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar yildan-yilga markazlashtirilgan test topshiriqlari orasida topiladi.
Trigonometrik tenglamalar va algebraik tenglamalar o'rtasidagi eng muhim farq shundaki, algebraik tenglamalar chekli sonli ildizlarga ega, trigonometrik tenglamalar esa --- cheksiz, bu ildizlarni tanlashni juda murakkablashtiradi. Trigonometrik tenglamalarning yana bir o'ziga xos xususiyati javob yozishning o'ziga xos bo'lmagan shaklidir.
Ushbu tezis trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechish usullariga bag'ishlangan.
Dissertatsiya 6 bo‘limdan iborat.
Birinchi bo'limda asosiy nazariy ma'lumotlar keltirilgan: trigonometrik va teskari trigonometrik funktsiyalarning ta'rifi va xossalari; ba'zi argumentlar uchun trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvali; trigonometrik funktsiyalarni boshqa trigonometrik funktsiyalar bilan ifodalash, bu trigonometrik ifodalarni, ayniqsa teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olganlarni o'zgartirish uchun juda muhimdir; Maktab kursidan yaxshi ma'lum bo'lgan asosiy trigonometrik formulalarga qo'shimcha ravishda, teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan ifodalarni soddalashtiradigan formulalar berilgan.
Ikkinchi bo'limda trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari ko'rsatilgan. Elementar trigonometrik tenglamalarni yechish, faktorizatsiya usuli va trigonometrik tenglamalarni algebraik tenglamalarga kamaytirish usullari ko'rib chiqiladi. Trigonometrik tenglamalar yechimlari bir necha usulda yozilishi mumkinligi va bu yechimlarning shakli bu yechimlarning bir xil yoki boshqacha ekanligini darhol aniqlashga imkon bermasligi sababli<<сбить с толку>> testlarni yechishda trigonometrik tenglamalarni yechishning umumiy sxemasi ko'rib chiqiladi va trigonometrik tenglamalarning umumiy yechimlari guruhlarini o'zgartirish batafsil ko'rib chiqiladi.
Uchinchi bo'limda nostandart trigonometrik tenglamalar ko'rib chiqiladi, ularning echimlari funktsional yondashuvga asoslangan.
To'rtinchi bo'limda trigonometrik tengsizliklar muhokama qilinadi. Elementar trigonometrik tengsizliklarni ham birlik aylanasida, ham grafik usulda yechish usullari batafsil muhokama qilinadi. Elementar bo'lmagan trigonometrik tengsizliklarni elementar tengsizliklar orqali yechish jarayoni va maktab o'quvchilariga allaqachon yaxshi ma'lum bo'lgan intervallar usuli tasvirlangan.
Beshinchi bo'lim eng qiyin vazifalarni taqdim etadi: faqat trigonometrik tenglamani yechish kerak bo'lganda, balki topilgan ildizlardan biron bir shartni qondiradigan ildizlarni tanlash kerak bo'lganda. Ushbu bo'lim odatiy ildiz tanlash vazifalariga yechimlar beradi. Ildizlarni tanlash uchun zarur nazariy ma'lumotlar berilgan: butun sonlar to'plamini ajratilgan kichik to'plamlarga bo'lish, butun sonlarda tenglamalarni echish (diafantin).
Oltinchi bo'lim test shaklida taqdim etilgan mustaqil hal qilish uchun topshiriqlarni taqdim etadi. 20 ta test topshirig‘i markazlashtirilgan test sinovlarida duch kelishi mumkin bo‘lgan eng qiyin vazifalarni o‘z ichiga oladi.
Elementar trigonometrik tenglamalar
Elementar trigonometrik tenglamalar ko'rinishdagi tenglamalar bo'lib, bu erda --- trigonometrik funksiyalardan biri: , , , .
Elementar trigonometrik tenglamalar cheksiz sonli ildizlarga ega. Masalan, quyidagi qiymatlar tenglamani qanoatlantiradi: , , va hokazo. Tenglamaning barcha ildizlari topiladigan umumiy formula, bu erda , quyidagicha:
Bu erda u har qanday butun qiymatlarni qabul qilishi mumkin, ularning har biri tenglamaning o'ziga xos ildiziga mos keladi; bu formulada (shuningdek, elementar trigonometrik tenglamalar yechiladigan boshqa formulalarda) deyiladi. parametr. Ular odatda yozadilar va shu bilan parametr har qanday butun qiymatlarni qabul qilishi mumkinligini ta'kidlaydilar.
Tenglamaning yechimlari , bu erda , formula bo'yicha topiladi
Tenglama formula yordamida yechiladi
va tenglama formula bo'yicha
Elementar trigonometrik tenglamalarning ba'zi maxsus holatlariga alohida e'tibor qaratamiz, bunda yechim umumiy formulalarsiz yozilishi mumkin:
Trigonometrik tenglamalarni yechishda muhim rol trigonometrik funktsiyalar davrini o'ynaydi. Shuning uchun biz ikkita foydali teoremani keltiramiz:
Teorema Agar --- funktsiyaning bosh davri bo'lsa, u holda son funktsiyaning bosh davri hisoblanadi.
Funksiyalarning davrlari va agar mavjud bo'lsa, o'lchovli deyiladi butun sonlar nima bo `pti .
Teorema Agar davriy funktsiyalar va , mutanosib va ga ega bo'lsa, u holda ular umumiy davrga ega bo'lib, , , funktsiyalarining davri hisoblanadi.
Teoremada aytilishicha, , , , funksiyaning davri asosiy davr bo‘lishi shart emas. Masalan, funktsiyalarning asosiy davri va --- , va ularning hosilasining asosiy davri --- .
Yordamchi argumentni kiritish
Shakl ifodalarini o'zgartirishning standart usuli bilan 
quyidagi texnika hisoblanadi: let --- burchak, tenglik bilan berilgan 
, 
. Har qanday odam uchun bunday burchak mavjud. Shunday qilib . Agar , yoki , , , boshqa hollarda.
Trigonometrik tenglamalarni yechish sxemasi
Trigonometrik tenglamalarni yechishda biz amal qiladigan asosiy sxema quyidagicha:
berilgan tenglamani yechish elementar tenglamalarni yechishga keltiriladi. Yechimlar --- konversiyalar, faktorlarga ajratish, noma'lumlarni almashtirish. Asosiy tamoyil - ildizlaringizni yo'qotmaslik. Bu shuni anglatadiki, keyingi tenglama(lar)ga o'tayotganda biz qo'shimcha (tashqi) ildizlarning paydo bo'lishidan qo'rqmaymiz, faqat "zanjir" ning har bir keyingi tenglamasi (yoki shoxlangan holda tenglamalar to'plami) haqida qayg'uramiz. ) oldingisining natijasidir. Ildizlarni tanlashning mumkin bo'lgan usullaridan biri sinovdir. Darhol shuni ta'kidlaymizki, trigonometrik tenglamalarda ildizlarni tanlash va tekshirish bilan bog'liq qiyinchiliklar, qoida tariqasida, algebraik tenglamalarga nisbatan keskin ortadi. Axir biz cheksiz sonli atamalardan tashkil topgan qatorlarni tekshirishimiz kerak.
Trigonometrik tenglamalarni yechishda noma’lumlarni almashtirishni alohida ta’kidlash lozim. Ko'pgina hollarda, zarur almashtirishdan so'ng, algebraik tenglama olinadi. Bundan tashqari, tenglamalar unchalik kam emaski, ular trigonometrik bo'lsa ham ko'rinish, mohiyatan ular emas, chunki birinchi qadamdan keyin --- almashtirishlar o'zgaruvchilar --- algebraiklarga aylanadi va trigonometriyaga qaytish faqat elementar trigonometrik tenglamalarni echish bosqichida sodir bo'ladi.
Sizga yana bir bor eslatib o'tamiz: noma'lumni almashtirish birinchi imkoniyatda amalga oshirilishi kerak, almashtirishdan keyin hosil bo'lgan tenglama oxirigacha hal qilinishi kerak, shu jumladan ildizlarni tanlash bosqichi va shundan keyingina asl noma'lumga qaytariladi.
Trigonometrik tenglamalarning xususiyatlaridan biri shundaki, javob ko'p hollarda yozilishi mumkin turli yo'llar bilan. Hatto tenglamani yechish uchun ham 
javobni quyidagicha yozish mumkin:
1) ikki qator shaklida: 
, , ;
2) yuqoridagi qatorlar birikmasi bo'lgan standart shaklda: , ;
3) chunki 
, keyin javobni shaklda yozish mumkin 
, . (Keyinda javob yozuvida , , yoki parametrning mavjudligi avtomatik ravishda bu parametr barcha mumkin boʻlgan butun son qiymatlarini qabul qilishini bildiradi. Istisnolar koʻrsatiladi.)
Shubhasiz, sanab o'tilgan uchta holat ko'rib chiqilayotgan tenglamaga javob yozish uchun barcha imkoniyatlarni tugatmaydi (ularning cheksiz ko'pi bor).
Masalan, tenglik to'g'ri bo'lganda 
. Shuning uchun, birinchi ikki holatda, agar , bilan almashtira olamiz .
Odatda javob 2-band asosida yoziladi. Quyidagi tavsiyani eslash foydali bo'ladi: agar ish tenglamani echish bilan tugamasa, hali ham tadqiqot o'tkazish va ildizlarni tanlash kerak, keyin eng qulay ro'yxatga olish shakli. 1-bandda ko'rsatilgan. (Tenglama uchun shunga o'xshash tavsiyalar berilishi kerak.)
Keling, aytilganlarni ko'rsatadigan misolni ko'rib chiqaylik.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Eng aniq yo'l quyidagilar. Bu tenglama ikkiga bo'linadi: va. Ularning har birini yechish va olingan javoblarni birlashtirib, biz topamiz.
Boshqa yo'l. dan beri, keyin, darajani kamaytirish uchun formulalarni almashtirish va ishlatish. Kichik o'zgarishlardan so'ng biz qayerdan olamiz 
.
Bir qarashda, ikkinchi formula birinchisiga nisbatan alohida afzalliklarga ega emas. Biroq, masalan, oladigan bo'lsak, unda shunday bo'ladi, ya'ni. tenglama yechimga ega, birinchi usul esa bizni javobga olib boradi 
. "Ko'ring" va tenglikni isbotlang 
unchalik oson emas.
Javob. .
Trigonometrik tenglamalarning umumiy yechimlari guruhlarini aylantirish va birlashtirish
Ikkala yo'nalishda ham cheksiz cho'ziladigan arifmetik progressiyani ko'rib chiqamiz. Bu progressiyaning a'zolarini progressiyaning markaziy yoki nol a'zosi deb ataladigan ma'lum bir a'zoning o'ng va chap tomonida joylashgan ikki guruh a'zolariga bo'lish mumkin.
Cheksiz progressiyaning shartlaridan birini nol son bilan belgilab, qolgan barcha a'zolar uchun ikkilamchi raqamlashni amalga oshirishimiz kerak bo'ladi: o'ngda joylashgan hadlar uchun ijobiy va nolning chap tomonida joylashgan hadlar uchun salbiy.
Umuman olganda, progressiyaning farqi nol had bo'lsa, cheksiz arifmetik progressiyaning istalgan (inchi) hadi uchun formula:
Cheksiz arifmetik progressiyaning istalgan hadi uchun formulalarni o'zgartirish
1. Progressiyaning farqini nol hadga qo'shsangiz yoki ayirilsa, progressiya o'zgarmaydi, faqat nol had o'zgaradi, ya'ni. A'zolarning raqamlanishi o'zgaradi.
2. Agar o'zgaruvchan qiymat koeffitsienti ga ko'paytirilsa, bu faqat a'zolarning o'ng va chap guruhlarini qayta tartibga solishga olib keladi.
3. Agar cheksiz progressiyaning ketma-ket hadlari
masalan, , , ..., , bir xil farqli progressiyalarning markaziy hadlarini quyidagicha tenglashtiring:
keyin progressiya va ketma-ket progressiyalar bir xil sonlarni ifodalaydi.
Misol Qator quyidagi uchta qator bilan almashtirilishi mumkin: , , .
4. Agar ayirmasi bir xil boʻlgan cheksiz progressiyalar ayirmali arifmetik progressiya hosil qiluvchi markaziy aʼzolar kabi raqamlarga ega boʻlsa, u holda bu qatorlar ayirmali bitta progressiya va shu progressiyalarning markaziy hadlaridan biriga teng boʻlgan markaziy had bilan almashtirilishi mumkin. ya'ni Agar
keyin bu progressiyalar bittaga birlashtiriladi:
Misol
. 
.
Umumiy yechimga ega bo'lgan guruhlarni umumiy yechimga ega bo'lmagan guruhlarga aylantirish uchun bu guruhlar umumiy davrga ega bo'lgan guruhlarga bo'linadi, so'ngra takrorlanuvchilarni hisobga olmaganda, hosil bo'lgan guruhlarni birlashtirishga harakat qiladi.
Faktorizatsiya
Faktorizatsiya usuli quyidagicha: agar
keyin tenglamaning har bir yechimi
tenglamalar to‘plamining yechimidir
Qarama-qarshi bayonot, umuman olganda, noto'g'ri: populyatsiyaning har bir yechimi tenglamaning yechimi emas. Bu alohida tenglamalar yechimlari funksiyani aniqlash sohasiga kiritilmasligi bilan izohlanadi.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib, biz tenglamani shaklda ifodalaymiz
Javob.
; 
.
Trigonometrik funktsiyalar yig'indisini mahsulotga aylantirish
Misol
Tenglamani yeching 
.
Yechim. Formulani qo'llash orqali biz ekvivalent tenglamani olamiz
Javob. .
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Bunday holda, trigonometrik funktsiyalar yig'indisi uchun formulalarni qo'llashdan oldin siz qisqartirish formulasidan foydalanishingiz kerak. 
. Natijada ekvivalent tenglamani olamiz
Javob.
, 
.
Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasini yig`indiga aylantirish orqali tenglamalarni yechish
Bir qator tenglamalarni yechishda formulalardan foydalaniladi.
Misol Tenglamani yeching
Yechim.
Javob. , .
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Formuladan foydalanib, biz ekvivalent tenglamani olamiz:
Javob. .
Tenglamalarni kamaytirish formulalari yordamida yechish
Keng doiradagi trigonometrik tenglamalarni yechishda formulalar asosiy rol o‘ynaydi.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Formulani qo'llash orqali biz ekvivalent tenglamani olamiz.
Javob. ; .
Uch argumentli formulalar yordamida tenglamalarni yechish
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Formulani qo'llash orqali biz tenglamani olamiz
Javob. ; .
Misol
Tenglamani yeching 
.
Yechim. Darajani kamaytirish uchun formulalarni qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz: 
. Qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:
Javob. ; .
Xuddi shu nomdagi trigonometrik funksiyalarning tengligi
Misol Tenglamani yeching.
Yechim.
Javob. , .
Misol
Tenglamani yeching 
.
Yechim. Keling, tenglamani aylantiramiz.
Javob. .
Misol Ma'lumki va tenglamani qanoatlantiring
Miqdorini toping.
Yechim. Tenglamadan shunday xulosa kelib chiqadi
Javob. .
Keling, shakl summalarini ko'rib chiqaylik
Ushbu miqdorlarni ko'paytirish va bo'lish orqali mahsulotga aylantirish mumkin, keyin biz olamiz
Ushbu texnikadan ba'zi trigonometrik tenglamalarni echishda foydalanish mumkin, ammo buning natijasida begona ildizlar paydo bo'lishi mumkinligini yodda tutish kerak. Keling, ushbu formulalarni umumlashtiramiz:
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Ko'rinib turibdiki, to'plam dastlabki tenglamaning yechimi hisoblanadi. Shuning uchun tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ko'paytirish ortiqcha ildizlarning paydo bo'lishiga olib kelmaydi.
Bizda ... bor 
.
Javob. ; .
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Keling, tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ko'paytiramiz va trigonometrik funktsiyalar mahsulotini yig'indiga aylantirish uchun formulalarni qo'llaymiz, biz olamiz
Bu tenglama ikkita tenglamaning birikmasiga va , qaerdan va .
Tenglamaning ildizlari tenglamaning ildizlari bo'lmagani uchun biz ni istisno qilishimiz kerak. Bu shuni anglatadiki, to'plamda istisno qilish kerak.
Javob. Va ,.
Misol
Tenglamani yeching 
.
Yechim. Keling, ifodani o'zgartiramiz:
Tenglama quyidagicha yoziladi:
Javob. .
Trigonometrik tenglamalarni algebraik tenglamalarga qisqartirish
Kvadratgacha qisqartirilishi mumkin
Agar tenglama shaklda bo'lsa
keyin almashtirish kvadratga olib keladi, chunki 
() Va.
Agar muddat o'rniga mavjud bo'lsa, unda kerakli almashtirish bo'ladi.
Tenglama
kvadrat tenglamaga qisqartiradi
sifatida taqdimot 
. Qaysi biri tenglamaning ildizi emasligini tekshirish oson va almashtirishni amalga oshirish orqali tenglama kvadratik tenglamaga keltiriladi.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Keling, uni chap tomonga o'tkazamiz, uni bilan almashtiramiz va uni va orqali ifodalaymiz.
Soddalashtirilgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz: . Muddatni muddatga bo'ling va almashtirishni amalga oshiring:
ga qaytsak, topamiz 
.
ga nisbatan bir jinsli tenglamalar,
Shaklning tenglamasini ko'rib chiqing
Qaerda , , , ..., , --- yaroqli raqamlar. Tenglamaning chap tomonidagi har bir hadda monomiallarning darajalari teng, ya'ni sinus va kosinus darajalarining yig'indisi bir xil va tengdir. Bu tenglama deyiladi bir hil va ga nisbatan va raqam chaqiriladi bir xillik ko'rsatkichi .
Ma'lumki, agar bo'lsa, tenglama quyidagi shaklni oladi:
yechimlari qiymatlari bo'lgan qiymatlar, ya'ni raqamlar. Qavs ichida yozilgan ikkinchi tenglama ham bir hil, lekin darajalar 1 ga pastroq.
Agar bo'lsa, bu raqamlar tenglamaning ildizi emas.
Qachonki: , va tenglamaning chap tomoni (1) qiymatini oladi.
Demak, uchun, va, demak, tenglamaning ikkala tomonini ga bo’lish mumkin. Natijada biz tenglamani olamiz:
uni almashtirish orqali osongina algebraik holatga keltirish mumkin:
Bir jinslilik indeksli bir jinsli tenglamalar 1. Bizda tenglama mavjud bo'lganda .
Agar , u holda bu tenglama , , qaerdan , tenglamasiga ekvivalentdir.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Bu tenglama birinchi darajali bir hildir. Har ikkala qismni bo'lish orqali biz: , , , .
Javob. .
Misol Biz shaklning bir hil tenglamasini olamiz
Yechim.
Agar bo'lsa, tenglamaning ikkala tomonini ga bo'lsak, tenglamani olamiz 
, uni almashtirish orqali osongina kvadratga qisqartirish mumkin: 
. Agar 
, u holda tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'ladi, . Dastlabki tenglama ikkita yechim guruhiga ega bo'ladi: , , .
Agar 
, u holda tenglamaning yechimlari yo'q.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Bu tenglama ikkinchi darajali bir hildir. Tenglamaning ikkala tomonini ga ajratsak, quyidagilarga erishamiz: . Keling, keyin, , . , , ; .
Javob.
.
Tenglama shakldagi tenglamaga keltiriladi
Buning uchun identifikatsiyadan foydalanish kifoya 
Xususan, tenglama uni bilan almashtirsak, bir hil holga keltiriladi 
, keyin biz ekvivalent tenglamani olamiz:
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Keling, tenglamani bir hil tenglamaga aylantiramiz:
Tenglamaning ikkala tomonini ga ajratamiz 
, biz tenglamani olamiz:
, keyin kvadrat tenglamaga kelamiz: 
, , 
, 
, .
Javob.
.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Tenglamaning ikkala tomonini ham ularning ijobiy qiymatlari borligini hisobga olib, kvadratga aylantiramiz: , ,
Bo'lsin, keyin olamiz 
, , .
Javob. .
Identifikatsiyalar yordamida yechilgan tenglamalar 
Quyidagi formulalarni bilish foydalidir:
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Foydalanish, biz olamiz
Javob.
Biz formulalarning o'zini emas, balki ularni olish usulini taklif qilamiz:
shuning uchun,
Xuddi shunday, .
Misol
Tenglamani yeching 
.
Yechim. Keling, ifodani o'zgartiramiz:
Tenglama quyidagicha yoziladi:
Qabul qilish orqali biz qabul qilamiz. , . Shuning uchun
Javob. .
Universal trigonometrik almashtirish
Shaklning trigonometrik tenglamasi
Qayerda --- mantiqiy formulalar yordamida funksiya - , shuningdek formulalar yordamida - , , , argumentlariga nisbatan ratsional tenglamaga keltirilishi mumkin, shundan so'ng tenglamani ishlatishga nisbatan algebraik ratsional tenglamaga keltirish mumkin. universal trigonometrik almashtirish formulalari
Shuni ta'kidlash kerakki, formulalardan foydalanish dastlabki tenglamaning OD ning torayishiga olib kelishi mumkin, chunki u nuqtalarda aniqlanmagan, shuning uchun bunday hollarda burchaklar dastlabki tenglamaning ildizlari ekanligini tekshirish kerak. .
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Vazifa shartlariga ko'ra. Formulalarni qo'llash va almashtirishni amalga oshirib, biz olamiz
qaerdan va shuning uchun.
Shakl tenglamalari
--- ko'phadli ko'rinishdagi tenglamalar noma'lumlarning o'zgarishi yordamida yechiladi
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. O'zgartirishni amalga oshirish va buni hisobga olgan holda, biz olamiz
qayerda,. --- begona ildiz, chunki . Tenglamaning ildizlari 
bor.
Xususiyat cheklovlaridan foydalanish
Markazlashtirilgan test amaliyotida yechimi cheklangan funksiyalarga asoslangan tenglamalarni uchratish juda kam uchraydi va . Masalan:
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Chunki , , keyin chap tomoni oshmaydi va ga teng, agar
Ikkala tenglamani qanoatlantiradigan qiymatlarni topish uchun biz quyidagicha harakat qilamiz. Keling, ulardan birini hal qilaylik, keyin topilgan qiymatlar orasidan ikkinchisini qanoatlantiradiganlarini tanlaymiz.
Ikkinchisidan boshlaylik: , . Keyin, 
.
Faqat juft sonlar uchun bo'lishi aniq.
Javob. .
Boshqa bir fikr quyidagi tenglamani yechish orqali amalga oshiriladi:
Misol
Tenglamani yeching 
.
Yechim. Eksponensial funksiya xossasidan foydalanamiz: , 
.
Ushbu tengsizliklarni atama bo'yicha qo'shsak, bizda:
Demak, bu tenglamaning chap tomoni ikkita tenglik bajarilsagina teng bo'ladi:
ya'ni, , , qiymatlarini olishi mumkin yoki , qiymatlarini olishi mumkin.
Javob. , .
Misol
Tenglamani yeching 
.
Yechim., . Demak, 
.
Javob. .
Misol Tenglamani yeching
Yechim. ni belgilaymiz, keyin bizda mavjud bo'lgan teskari trigonometrik funktsiyaning ta'rifidan 
Va 
.
Chunki, u holda tengsizlik tenglamadan kelib chiqadi, ya'ni. . Buyon va , keyin va . Biroq, shuning uchun.
Agar va bo'lsa, unda. Ilgari aniqlangani uchun, keyin.
Javob. , .
Misol Tenglamani yeching
Yechim. Mintaqa qabul qilinadigan qiymatlar tenglamalar.
Avval biz funktsiyani ko'rsatamiz
Har qanday kishi uchun u faqat ijobiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin.
Funktsiyani quyidagicha tasavvur qilaylik: .
dan beri, keyin sodir bo'ladi, ya'ni. 
.
Shuning uchun tengsizlikni isbotlash uchun shuni ko'rsatish kerak 
. Shu maqsadda bu tengsizlikning ikkala tomonini ham kub qilaylik
Olingan son tengsizlik shuni ko'rsatadi. ni ham hisobga olsak, tenglamaning chap tomoni manfiy emas.
Keling, tenglamaning o'ng tomonini ko'rib chiqaylik.
Chunki 
, Bu
Biroq, bu ma'lum 
. Bundan kelib chiqadiki, ya'ni. tenglamaning o'ng tomoni oshmaydi. Tenglamaning chap tomoni manfiy emasligi ilgari isbotlangan edi, shuning uchun indagi tenglik faqat ikkala tomon teng bo'lganda sodir bo'lishi mumkin va bu faqat .
Javob. .
Misol Tenglamani yeching
Yechim. va belgilaymiz 
. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini qo'llagan holda, biz . Bundan kelib chiqadi 
. Boshqa tomondan, bor 
. Shuning uchun tenglamaning ildizlari yo'q.
Javob. .
Misol Tenglamani yeching:
Yechim. Tenglamani quyidagicha qayta yozamiz:
Javob. .
Trigonometrik va kombinatsiyalangan tenglamalarni yechishning funksional usullari
O'zgartirishlar natijasida har bir tenglamani ma'lum bir yechim usuli mavjud bo'lgan u yoki bu standart shakldagi tenglamaga keltirish mumkin emas. Bunday hollarda funksiyalarning monotonlik, chegaralanganlik, paritetlik, davriylik kabi xossalaridan foydalanish foydali bo‘lib chiqadi. Demak, agar funksiyalardan biri kamaysa, ikkinchisi intervalda ortib ketsa, tenglamada bu oraliqda ildiz, bu ildiz noyobdir va keyin, masalan, uni tanlash orqali topish mumkin. Agar funktsiya yuqoridan chegaralangan bo'lsa, va , va funksiya quyida chegaralangan bo'lsa, va, u holda tenglama tenglamalar tizimiga ekvivalent bo'ladi.
Misol Tenglamani yeching
Yechim. Dastlabki tenglamani shaklga aylantiramiz
va ga nisbatan kvadratik sifatida yeching. Keyin olamiz,
Populyatsiyaning birinchi tenglamasini yechamiz. Funktsiyaning cheklangan xususiyatini hisobga olib, biz tenglama faqat segmentda ildizga ega bo'lishi mumkin degan xulosaga kelamiz. Bu oraliqda funktsiya ortadi va funktsiya 
kamayadi. Shuning uchun, agar bu tenglamaning ildizi bo'lsa, u yagonadir. Tanlov orqali topamiz.
Javob. .
Misol Tenglamani yeching
Yechim. Qo'ying va 
, u holda asl tenglamani funksional tenglama sifatida yozish mumkin. Funktsiya g'alati bo'lgani uchun . Bunday holda, biz tenglamani olamiz.
, va ustida monotonik bo'lgani uchun, tenglama tenglamaga ekvivalent, ya'ni. 
, bitta ildizga ega.
Javob. .
Misol
Tenglamani yeching 
.
Yechim. Murakkab funktsiyaning hosilasi haqidagi teoremaga asoslanib, funktsiya aniq 
kamayuvchi (funksiyaning kamayishi, ortishi, kamayishi). Bundan ma'lum bo'ladiki, funktsiya 
da aniqlangan, kamaygan. Shuning uchun bu tenglama ko'pi bilan bitta ildizga ega. Chunki 
, Bu
Javob. .
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Keling, tenglamani uchta oraliqda ko'rib chiqaylik.
a) ruxsat bering. U holda bu to'plamda asl tenglama tenglamaga ekvivalent bo'ladi. Qaysi intervalda hech qanday yechimlari bor, chunki 
, , A. Intervalda asl tenglamaning ham ildizlari yo'q, chunki 
, A .
b) ruxsat bering. Keyin ushbu to'plamda asl tenglama tenglamaga ekvivalent bo'ladi
oraliqdagi ildizlari , , , raqamlari.
c) ruxsat bering. Keyin ushbu to'plamda asl tenglama tenglamaga ekvivalent bo'ladi
Qaysi oraliqda yechimlari yo'q, chunki , va . Intervalda tenglamaning ham yechimlari yo'q, chunki , , A.
Javob. , , , .
Simmetriya usuli
Simmetriya usuli vazifani shakllantirish tenglama, tengsizlik, tizim va boshqalarning yagona yechimini talab qilganda foydalanish uchun qulaydir. yoki yechimlar sonining aniq ko'rsatkichi. Bunday holda, berilgan ifodalarning har qanday simmetriyasini aniqlash kerak.
Bundan tashqari, simmetriyaning mumkin bo'lgan turlarining xilma-xilligini hisobga olish kerak.
Simmetriya bilan fikr yuritishda mantiqiy bosqichlarga qat'iy rioya qilish ham bir xil darajada muhimdir.
Odatda, simmetriya faqat o'rnatishga imkon beradi zarur shart-sharoitlar, va keyin ularning etarliligini tekshirish talab qilinadi.
Misol Tenglama yagona yechimga ega bo'lgan parametrning barcha qiymatlarini toping.
Yechim. Shu esta tutilsinki --- hatto funksiyalar, shuning uchun tenglamaning chap tomoni juft funktsiyadir.
Shunday qilib, agar --- yechim tenglamalar, ya'ni tenglamaning yechimi ham. Agar --- yagona narsa keyin tenglamaning yechimi zarur , .
Biz tanlaymiz mumkin qiymatlar, bu tenglamaning ildizi bo'lishini talab qiladi.
Darhol ta'kidlaymizki, boshqa qiymatlar muammoning shartlarini qondira olmaydi.
Ammo tanlanganlarning barchasi muammoning shartlarini qondiradimi yoki yo'qmi, hozircha ma'lum emas.
Adekvatlik.
1), tenglama shaklni oladi 
.
2), tenglama quyidagi shaklda bo'ladi:
Ko'rinib turibdiki, hamma uchun va 
. Shunday qilib, oxirgi tenglama tizimga ekvivalentdir:
Shunday qilib, , uchun tenglama yagona yechimga ega ekanligini isbotladik.
Javob. .
Funktsiyalarni o'rganish bilan yechim
Misol Tenglamaning barcha yechimlari ekanligini isbotlang
Butun sonlar.
Yechim. Dastlabki tenglamaning asosiy davri . Shuning uchun biz avval ushbu tenglamani intervalda tekshiramiz.
Tenglamani quyidagi shaklga aylantiramiz:
Mikrokalkulyator yordamida biz quyidagilarni olamiz:
Agar bo'lsa, oldingi tengliklardan biz quyidagilarni olamiz:
Hosil bo'lgan tenglamani yechib, biz quyidagilarni olamiz: .
Amalga oshirilgan hisob-kitoblar segmentga tegishli tenglamaning ildizlarini va deb hisoblash imkonini beradi.
To'g'ridan-to'g'ri test bu farazni tasdiqlaydi. Shunday qilib, tenglamaning ildizlari faqat butun sonlar ekanligi isbotlangan.
Misol
Tenglamani yeching 
.
Yechim. Tenglamaning asosiy davri topilsin. Funksiya ga teng asosiy davrga ega. Funktsiyaning asosiy davri . va ning eng kichik umumiy karrali ga teng. Demak, tenglamaning asosiy davri . Mayli.
Shubhasiz, bu tenglamaning yechimi. Intervalda. Funktsiya salbiy. Shuning uchun tenglamaning boshqa ildizlarini faqat x va oraliqlardan izlash kerak.
Mikrokalkulyatordan foydalanib, biz birinchi navbatda tenglama ildizlarining taxminiy qiymatlarini topamiz. Buning uchun funksiya qiymatlari jadvalini tuzamiz 
intervallar bo'yicha va ; ya'ni intervallarda va .
| 0 | 0 | 202,5 | 0,85355342 |
| 3 | -0,00080306 | 207 | 0,6893642 |
| 6 | -0,00119426 | 210 | 0,57635189 |
| 9 | -0,00261932 | 213 | 0,4614465 |
| 12 | -0,00448897 | 216 | 0,34549155 |
| 15 | -0,00667995 | 219 | 0,22934931 |
| 18 | -0,00903692 | 222 | 0,1138931 |
| 21 | -0,01137519 | 225 | 0,00000002 |
| 24 | -0,01312438 | 228 | -0,11145712 |
| 27 | -0,01512438 | 231 | -0,21961736 |
| 30 | -0,01604446 | 234 | -0,32363903 |
| 33 | -0,01597149 | 237 | -0,42270819 |
| 36 | -0,01462203 | 240 | -0,5160445 |
| 39 | -0,01170562 | 243 | -0,60290965 |
| 42 | -0,00692866 | 246 | -0,65261345 |
| 45 | 0,00000002 | 249 | -0,75452006 |
| 48 | 0,00936458 | 252 | -0,81805397 |
| 51 | 0,02143757 | 255 | -0,87270535 |
| 54 | 0,03647455 | 258 | -0,91803444 |
| 57 | 0,0547098 | 261 | -0,95367586 |
| 60 | 0,07635185 | 264 | -0,97934187 |
| 63 | 0,10157893 | 267 | -0,99482505 |
| 66 | 0,1305352 | 270 | -1 |
| 67,5 | 0,14644661 |
Jadvaldan quyidagi gipotezalar oson farqlanadi: segmentga tegishli tenglamaning ildizlari sonlar: ; ; . To'g'ridan-to'g'ri test bu farazni tasdiqlaydi.
Javob.
; 
; .
Birlik doirasi yordamida trigonometrik tengsizliklarni yechish
Trigonometrik funksiyalardan biri bo'lgan ko'rinishdagi trigonometrik tengsizliklarni yechishda tengsizlikning yechimlarini eng aniq ifodalash va javobni yozish uchun trigonometrik doiradan foydalanish qulay. Trigonometrik tengsizliklarni yechishning asosiy usuli ularni eng oddiy turdagi tengsizliklarga keltirishdir. Keling, bunday tengsizliklarni qanday yechish misolini ko'rib chiqaylik.
Misol Tengsizlikni yeching.
Yechim. Trigonometrik doira chizamiz va uning ustida ordinatasi dan oshib ketgan nuqtalarni belgilaymiz.
Bu tengsizlikning yechimi bo'ladi. Bundan tashqari, aniqki, agar ma'lum bir raqam ko'rsatilgan oraliqdan har qanday raqamdan farq qilsa, u ham dan kam bo'lmaydi. Shuning uchun, siz faqat topilgan yechim segmentining uchlariga qo'shishingiz kerak. Nihoyat, biz asl tengsizlikning yechimlari hammasi bo'lishiga erishamiz 
.
Javob.
.
Tangens va kotangens bilan tengsizliklarni yechish uchun teglar va kotangenslar chizig'i tushunchasi foydalidir. Bular trigonometrik doiraga teguvchi to'g'ri chiziqlar va mos ravishda (1 va (2)-rasmda).
Ko'rinib turibdiki, agar biz koordinatalar boshidan kelib chiqishi bo'lgan nurni abscissa o'qining musbat yo'nalishi bilan burchak hosil qilsak, u holda ushbu nurning kesishgan nuqtasidan boshlab segmentning uzunligi. tangens chizig'i bu nurning abscissa o'qi bilan yasagan burchak tangensiga to'liq teng. Xuddi shunday kuzatuv kotangent uchun ham sodir bo'ladi.
Misol Tengsizlikni yeching.
Yechim. ni belgilaymiz, u holda tengsizlik eng oddiy shaklni oladi: . Tangensning eng kichik ijobiy davriga (LPP) teng uzunlik oralig'ini ko'rib chiqaylik. Ushbu segmentda tangentlar chizig'idan foydalanib, biz buni aniqlaymiz. Keling, NPP funktsiyalaridan keyin nima qo'shilishi kerakligini eslaylik. Shunday qilib, 
. O'zgaruvchiga qaytsak, biz buni olamiz.
Javob.
.
Teskari trigonometrik funksiyalar bilan tengsizliklarni teskari trigonometrik funksiyalarning grafiklaridan foydalanib yechish qulay. Keling, bu qanday amalga oshirilishini misol bilan ko'rsatamiz.
Trigonometrik tengsizliklarni grafik usulda yechish
E'tibor bering, agar --- davriy funksiya bo‘lsa, tengsizlikni yechish uchun uzunligi funksiya davriga teng bo‘lgan segmentda uning yechimini topish kerak bo‘ladi. Asl tengsizlikning barcha yechimlari topilgan qiymatlardan, shuningdek, funksiya davrlarining istalgan butun soni bilan topilganlardan farq qiladigan barcha qiymatlardan iborat bo'ladi.
Tengsizlikning yechimini ko'rib chiqamiz ().
dan beri, u holda tengsizlikning yechimlari yo'q. Agar bo'lsa, u holda tengsizlikning yechimlari to'plami --- bir guruh barcha haqiqiy raqamlar.
Mayli. Sinus funktsiyasi eng kichik musbat davrga ega, shuning uchun tengsizlik birinchi navbatda uzunlik segmentida, masalan, segmentda echilishi mumkin. Biz va () funktsiyalarning grafiklarini quramiz. shakldagi tengsizliklar bilan beriladi: va, qaerdan,
Ushbu ishda oddiy va olimpiada darajasidagi trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechish usullari ko'rib chiqildi. Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni echishning asosiy usullari ko'rib chiqildi va bundan tashqari, o'ziga xos --- xarakterli faqat trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar va trigonometrik tenglamalarga nisbatan qo'llaniladigan tenglamalar va tengsizliklarni yechishning umumiy funksional usullari uchun.
Tezisda asosiy nazariy ma’lumotlar berilgan: trigonometrik va teskari trigonometrik funksiyalarning ta’rifi va xossalari; trigonometrik funktsiyalarni boshqa trigonometrik funktsiyalar bilan ifodalash, bu trigonometrik ifodalarni, ayniqsa teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olganlarni o'zgartirish uchun juda muhimdir; Maktab kursidan yaxshi ma'lum bo'lgan asosiy trigonometrik formulalarga qo'shimcha ravishda, teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan ifodalarni soddalashtiradigan formulalar berilgan. Elementar trigonometrik tenglamalarni yechish, faktorizatsiya usuli va trigonometrik tenglamalarni algebraik tenglamalarga kamaytirish usullari ko'rib chiqiladi. Trigonometrik tenglamalar yechimlari bir necha usulda yozilishi mumkinligi va bu yechimlarning shakli bu yechimlarning bir xil yoki boshqacha ekanligini darhol aniqlashga imkon bermasligi sababli trigonometrik tenglamalarni yechishning umumiy sxemasi ko‘rib chiqiladi va o‘zgartirishlar kiritiladi. trigonometrik tenglamalarning umumiy yechimlari guruhlari batafsil ko'rib chiqiladi. Elementar trigonometrik tengsizliklarni ham birlik aylanasida, ham grafik usulda yechish usullari batafsil muhokama qilinadi. Elementar bo'lmagan trigonometrik tengsizliklarni elementar tengsizliklar orqali yechish jarayoni va maktab o'quvchilariga allaqachon yaxshi ma'lum bo'lgan intervallar usuli tasvirlangan. Ildizlarni tanlash bo'yicha odatiy vazifalarning echimlari berilgan. Ildizlarni tanlash uchun zarur nazariy ma'lumotlar berilgan: butun sonlar to'plamini ajratilgan kichik to'plamlarga bo'lish, butun sonlarda tenglamalarni echish (diafantin).
Ushbu bitiruv ishining natijalari kurs ishini tayyorlashda o'quv materiali sifatida foydalanish mumkin va tezislar, maktab o'quvchilari uchun tanlov fanlarini tuzishda, ish talabalarni kirish imtihonlariga va markazlashtirilgan testlarga tayyorlashda ham qo'llanilishi mumkin.
Vygodskiy Ya.Ya., Boshlang'ich matematika bo'yicha qo'llanma. /Vigodskiy Ya.Ya. --- M.: Nauka, 1970 yil.
Igudisman O., Og'zaki imtihonda matematika / Igudisman O. --- M.: Iris Press, Rolf, 2001.
Azarov A.I., tenglamalar / Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Mn.: Trivium, 1994 yil.
Litvinenko V.N., Boshlang'ich matematika bo'yicha seminar / Litvinenko V.N. --- M.: Ta'lim, 1991 yil.
Sharygin I.F., Matematikaning ixtiyoriy kursi: muammolarni hal qilish / Sharygin I.F., Golubev V.I. --- M.: Ta'lim, 1991 yil.
Bardushkin V., Trigonometrik tenglamalar. Ildiz tanlash/B. Bardushkin, A. Prokofyev.// Matematika, No 12, 2005 bet. 23--27.
Vasilevskiy A.B., Matematikadan sinfdan tashqari ishlar uchun topshiriqlar / Vasilevskiy A.B. --- Mn.: Xalq Asvetasi. 1988. --- 176 b.
Sapunov P. I., Trigonometrik tenglamalarning umumiy yechimlari guruhlarini o'zgartirish va birlashtirish / Sapunov P. I. // Matematik ta'lim, 1935 yil 3-son.
Borodin P., Trigonometriya. Moskva davlat universitetida kirish imtihonlari materiallari [matn] / P. Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergeev, V. Tarasov // Matematika No 1, 2005 bet. 36--48.
Samusenko A.V., matematika: Umumiy xatolar ariza beruvchilar: Ma'lumotnoma / Samusenko A.V., Kazachenok V.V. --- Mn.: Oliy maktab, 1991 yil.
Azarov A.I., Imtihon muammolarini hal qilishning funktsional va grafik usullari / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Mn.: Aversev, 2004 y.
