Prezident huzuridagi Artilleriya qishloq xo‘jaligi kolleji. Kaliningrad savdo-iqtisodiy kolleji - Rossiya Federatsiyasi Prezidenti huzuridagi Rossiya xalq xo'jaligi va davlat boshqaruvi akademiyasining filiali.

Kaliningrad savdo-iqtisodiyot kolleji tarixi 1946 yildan beri yozilgan mintaqa tarixining sahifasidir. O‘tgan davr mobaynida kollejni 25 mingdan ortiq mutaxassis tamomladi.

2004 yildan beri kollej Moskva O'rta kasb-hunar ta'limini rivojlantirish instituti uchun "Mintaqada kattalar ta'limi markazlari va ochiq ta'lim markazlarini yaratish va tashkil etish bo'yicha Evropa tajribasini tarqatish" mavzusidagi eksperimental platformaga aylandi. O'n yil davomida u Rossiya Marketing Assotsiatsiyasining a'zosi bo'lib, ijtimoiy kollej maqomiga ega. So‘nggisi kollejni ijtimoiy himoyaga muhtoj o‘quvchilar, o‘qituvchilar, pensionerlar, harbiy xizmatchilar va ularning oila a’zolari, mehnat qilayotgan o‘qituvchi va xodimlarini doimiy qo‘llab-quvvatlab kelayotgani uchun viloyat hokimligi tomonidan taqdirlandi.

Talabalar Kaliningrad savdo-iqtisodiyot kollejida beshta fakultetda tayyorlanadi: texnologiya va xizmat ko'rsatish, marketing menejmenti, huquq, iqtisod va buxgalteriya hisobi va noan'anaviy ta'lim shakllari. Kollejning ta’lim yo‘nalishi o‘n oltita mutaxassislikni o‘z ichiga oladi. Bularga oziq-ovqat tayyorlash texnologiyasi, oziq-ovqat savdosi, savdo tijorati, menejment, marketing, buxgalter-advokat, bank ishi, mehmonxona majmuasida xizmatlarni tashkil etish, moliya, turizm va boshqalar kiradi.

Kollejda Kasbga yo‘naltirish va abituriyentlarni tayyorlash markazi mavjud. Ta'limning noan'anaviy shakllari fakultetida siz nafaqat malakangizni oshiribgina qolmay, balki ishingizni to'xtatmasdan yangi mutaxassislikka ega bo'lishingiz mumkin. Hozirgi Ochiq ta’lim markazi yigirmadan ortiq mutaxassislik bo‘yicha kasbiy tayyorgarlikka ko‘maklashishga qaratilgan. Bu yerda siz o'z malakangizni oshirib, qayta tayyorlashdan o'tishingiz mumkin. Usullar xilma-xildir: ishbilarmonlik o'yinlari, treninglar, seminarlar, mashqlar, ochiq uchrashuvlar, konferentsiyalar, bularning barchasi talabalarga taklif qilingan materialni iloji boricha o'zlashtirishga imkon beradi.

Kaliningrad davlat universiteti, Kaliningrad davlat texnika universiteti va Boltiqbo'yi davlat akademiyasi bilan hamkorlik kollejga bilimlari kapital va mintaqaning iqtisodiy rivojlanishining asosiy resursiga aylanadigan mutaxassislarni tayyorlash imkonini beradi. Ushbu hamkorlik yillarida ikki yuzdan ortiq bitiruvchilar maxsus fakultetda qisqartirilgan o‘qish muddati bilan oliy ma’lumot oldi. Ularning barchasi mintaqaning iqtisodiy kompleksi tomonidan talabga ega, ko'plari mintaqaning tadbirkorlik korpusining elitasiga kirgan.

Kaliningrad savdo-iqtisodiy kolleji Daniya, Shvetsiya, Germaniya, Polsha va Finlyandiya bilan aloqa o'rnatgan va faol hamkorlik qilmoqda. Jamoa xalqaro ta'lim loyihalarida ishtirok etadi. Ularning mavzulari xilma-xil bo'lib, u "Kichik va o'rta biznesni rivojlantirishda Kaliningrad hokimiyatiga ko'maklashish", "Ofitserlar va ularning oila a'zolarining ishsiz a'zolariga keyinchalik ishga joylashish uchun fuqarolik mutaxassisliklarini olishda yordam berish", "O'qituvchilarni o'qitish" kabi muhim mavzularni o'z ichiga oladi. Kaliningradda andragogika va tadbirkorlikni o'qitish dasturlarini rivojlantirish" va boshqalar.

1999 yilda xalqaro loyiha doirasida direktorning o'quv ishlari bo'yicha o'rinbosari Lidiya Ivanovna Motolyanetsning sa'y-harakatlari bilan simulyatsiya kompaniyasi - haqiqiy savdo tashkiloti faoliyatini aks ettiruvchi korxona modeli, samarali ixtisoslashtirilgan shakl yaratildi. kichik biznes sohasida faoliyat yurituvchi barcha darajadagi kadrlar malakasini oshirish.

Jamoaning vazifasi - jamiyat ehtiyojlariga javob beradigan va yaxlit shaxsni shakllantirishga hissa qo'shadigan ta'limni kafolatlash - to'liq bajarildi. Kaliningrad savdo-iqtisodiy kolleji - bu professionallik, mas'uliyat, obro'.

KTEK
Iqtisodiyot va buxgalteriya hisobi PCC

15 nusxa, 2006 yil

Kirish. 4

Hosila tushunchasi. 5

Qisman hosilalar. o'n bir

Burilish nuqtalari. 16

Yechish uchun mashqlar. 17

Nazorat ishi. 20

Mashqlarga javoblar.. 21

Adabiyot. 23

Kirish

f(x x, keyin ular qo'ng'iroq qilishadi marjinal mahsulot; Agar g(x) g(x) g'(x) chaqirdi marjinal xarajat.

Masalan, Funktsiya ma'lum bo'lsin u=u(t) u ishlayotganda t. ∆t=t 1 - t 0:

z o'rtacha. =

z o'rtacha. da ∆t→ 0: .

Ishlab chiqarish xarajatlari K x, shuning uchun biz yozishimiz mumkin K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Cheklash chaqirdi

Hosila tushunchasi

Funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi argumentning o'sishi nolga moyil bo'lsa, funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi deyiladi.

Hosila funksiyasi belgisi:

Bu. a-prior:

Hosilini topish algoritmi:

Funktsiyaga ruxsat bering y=f(x) segmentda uzluksiz , x

1. Argumentning o‘sish qismini toping:

x- yangi argument qiymati

x 0- boshlang'ich qiymat

2. Funksiyaning o‘sishini toping:

f(x)- yangi funktsiya qiymati

f(x 0)- funktsiyaning boshlang'ich qiymati

3. Funksiya o‘sishining argument o‘sishiga nisbatini toping:

4. Topilgan nisbat chegarasini toping

Hosilaning ta’rifiga asosan funksiyaning hosilasini toping.

Yechim:

beraylik X oshirish Dx, u holda funktsiyaning yangi qiymati quyidagilarga teng bo'ladi:

Funktsiyaning yangi va boshlang'ich qiymatlari o'rtasidagi farq sifatida funktsiyaning o'sishini topamiz:

Funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbatini topamiz:

.

Bu nisbatning chegarasini topamiz, agar:

Shunday qilib, hosila ta'rifi bo'yicha: .

Funktsiyaning hosilasini topish deyiladi farqlash.

Funktsiya y=f(x) chaqirdi farqlanadigan(a;b) oraliqda, agar u intervalning har bir nuqtasida hosilasi bo'lsa.

Teorema Agar funktsiya berilgan nuqtada differentsial bo'lsa x 0, keyin bu nuqtada uzluksiz bo'ladi.

Teskari bayonot noto'g'ri, chunki Bir nuqtada uzluksiz bo'lgan, lekin u nuqtada farqlanmaydigan funktsiyalar mavjud. Masalan, x 0 =0 nuqtadagi funksiya.

Funksiyalarning hosilalarini toping

1) .

2) .

Funktsiyaning bir xil o'zgarishlarini bajaramiz:

Yuqori tartibli hosilalar

Ikkinchi tartibli hosila birinchi hosilaning hosilasi deyiladi. Belgilangan

n-tartibning hosilasi(n-1) tartibli hosilaning hosilasi deyiladi.

Masalan,

Qisman hosilalar

Qisman hosila bu o'zgaruvchilardan biriga nisbatan bir nechta o'zgaruvchilarning funksiyasi, boshqa barcha o'zgaruvchilar doimiy bo'lib qolishi sharti bilan, ushbu o'zgaruvchiga nisbatan olingan hosila deyiladi.

Masalan, funktsiya uchun Birinchi tartibli qisman hosilalar quyidagilarga teng bo'ladi:

Maksimal va minimal funktsiya

Funktsiya eng katta qiymatga ega bo'lgan argument qiymati deyiladi maksimal nuqta.

Funktsiya eng kichik qiymatga ega bo'lgan argument qiymati deyiladi minimal nuqta.

Funksiyaning maksimal nuqtasi - bu funksiyaning o'sishdan kamayishiga o'tishning chegara nuqtasi, funktsiyaning minimal nuqtasi - kamayishdan ortishga o'tishning chegara nuqtasi..

Funktsiya y=f(x) bor (mahalliy) maksimal nuqtada agar hamma uchun x

Funktsiya y=f(x) bor (mahalliy) eng kam nuqtada agar hamma uchun X, tengsizlikka etarlicha yaqin

Funktsiyaning maksimal va minimal qiymatlari birgalikda deyiladi ekstremal, va ularga erishilgan nuqtalar deyiladi ekstremal nuqtalar.

Teorema (ekstremum mavjudligi uchun zaruriy shart) Funktsiya oraliqda aniqlansin va nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatga ega bo'lsin. Keyin, agar biror nuqtada bu funktsiyaning hosilasi mavjud bo'lsa, u nolga teng, ya'ni. .

Isbot:

Funktsiya x 0 nuqtasida eng katta qiymatga ega bo'lsin, u holda har qanday tengsizlik uchun quyidagi tengsizlik bajariladi: .

Har qanday nuqta uchun

Agar x > x 0 bo'lsa, u holda, ya'ni.

Agar x< x 0 , то , т.е.

Chunki bor , ular nolga teng bo'lsagina mumkin bo'lgan narsa, shuning uchun, .

Natija:

Agar biror nuqtada differensiallanuvchi funksiya eng katta (eng kichik) qiymatni qabul qilsa, u holda nuqtada bu funksiya grafigiga tegish Ox o‘qiga parallel bo‘ladi.

Birinchi hosila nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar deyiladi tanqidiy - bu mumkin bo'lgan ekstremal nuqtalar.

E'tibor bering, birinchi hosilaning nolga tengligi ekstremum uchun faqat zaruriy shart bo'lganligi sababli, mumkin bo'lgan ekstremumning har bir nuqtasida ekstremum mavjudligi haqidagi savolni qo'shimcha tekshirish kerak.

Teorema(ekstremum mavjudligi uchun etarli shart)

Funktsiyaga ruxsat bering y = f (x) nuqtaning ayrim qo‘shnilarida uzluksiz va differentsial bo‘ladi x 0. Agar nuqtadan o'tayotganda x 0 chapdan o'ngga, birinchi hosila belgisini ortiqcha dan minusga (minusdan plyusga) o'zgartiradi, so'ngra nuqtada x 0 funktsiyasi y = f (x) maksimal (minimal)ga ega. Agar birinchi hosila belgisini o'zgartirmasa, bu funksiya nuqtada ekstremumga ega emas x 0.

Ekstremum uchun funktsiyani o'rganish algoritmi:

1. Funktsiyaning birinchi hosilasini toping.

2.Birinchi hosilani nolga tenglashtiring.

3.Tenglamani yeching. Tenglamaning topilgan ildizlari kritik nuqtalardir.

4.Topilgan kritik nuqtalarni son o‘qiga chizing. Biz bir qator intervallarni olamiz.

5. Har bir oraliqda birinchi hosilaning belgisini aniqlang va funksiyaning ekstremalini ko'rsating.

6. Grafikni tuzish uchun:

Ø ekstremal nuqtalarda funksiya qiymatlarini aniqlang

Ø koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini toping

Ø qo'shimcha nuqtalarni toping

Qalay quti radiusli dumaloq silindr shakliga ega r va balandliklar h. Konserva tayyorlash uchun aniq belgilangan miqdorda qalay sarflanadi deb faraz qilsak, ular orasidagi nisbatni aniqlang r Va h kavanoz eng katta hajmga ega bo'ladi.

Amaldagi qalay miqdori qutining umumiy yuzasiga teng bo'ladi, ya'ni. . (1)

Ushbu tenglikdan biz quyidagilarni topamiz:

Keyin hajmni formuladan foydalanib hisoblash mumkin: . Muammo funksiyaning maksimalini topishga qisqartiriladi V(r). Bu funksiyaning birinchi hosilasini topamiz: . Birinchi hosilani nolga tenglashtiramiz:

. Biz topamiz: . (2)

Bu nuqta maksimal nuqta, chunki birinchi hosila da ijobiy va da salbiy.

Keling, bankning radiusi va balandligi o'rtasida qanday nisbatda eng katta hajm paydo bo'lishini aniqlaylik. Buning uchun tenglikni (1) ga bo'ling r 2 va (2) munosabatidan foydalaning S. Biz olamiz: . Shunday qilib, balandligi uning diametriga teng bo'lgan kavanoz eng katta hajmga ega bo'ladi.

Ba'zan mumkin bo'lgan ekstremum nuqtaning chap va o'ng tomonidagi birinchi hosilaning belgisini o'rganish juda qiyin, keyin siz foydalanishingiz mumkin ekstremum uchun ikkinchi etarli shart:

Teorema Funktsiyaga ruxsat bering y = f (x) nuqtada mavjud x 0 mumkin bo'lgan ekstremum cheklangan ikkinchi hosila. Keyin funksiya y = f(x) nuqtaga ega x 0 maksimal, agar , va minimal bo'lsa .

Eslatma Bu teorema, agar berilgan nuqtadagi funksiyaning ikkinchi hosilasi nolga teng bo‘lsa yoki mavjud bo‘lmasa, funksiyaning nuqtadagi ekstremumi haqidagi savolni hal qilmaydi.

Burilish nuqtalari

Qavariqning botiqlikdan ajratilgan egri chiziqning nuqtalari deyiladi burilish nuqtalari.

Teorema (burilish nuqtasi uchun zarur shart): Funksiya grafigining burilish nuqtasi va funksiya x 0 nuqtasida uzluksiz ikkinchi hosilaga ega bo‘lsin, u holda

Teorema (burilish nuqtasi uchun etarli shart): Funktsiya x 0 nuqtasining qaysidir qo'shnisida ikkinchi hosilaga ega bo'lsin, uning chap va o'ng tomonida turli xil belgilar mavjud. x 0. u holda funksiya grafigi nuqtada burilishga ega.

Burilish nuqtalarini topish algoritmi:

1. Funktsiyaning ikkinchi hosilasini toping.

2. Ikkinchi hosilani nolga tenglang va tenglamani yeching: . Olingan ildizlarni raqamlar qatoriga chizing. Biz bir qator intervallarni olamiz.

3. Har bir oraliqda ikkinchi hosilaning belgisini toping. Agar ikkita qo'shni oraliqdagi ikkinchi hosilaning belgilari boshqacha bo'lsa, u holda bizda ildizning berilgan qiymati uchun burilish nuqtasi mavjud bo'lsa, belgilar bir xil bo'lsa, u holda burilish nuqtalari mavjud emas;

4. Burilish nuqtalarining ordinatalarini toping.

Qavariq va botiqlik uchun egri chiziqni tekshiring. Burilish nuqtalarini toping.

1) ikkinchi hosilani toping:

2) 2x tengsizlikni yeching<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) egri chiziq botiq bo'lgan x uchun 2x>0 x>0 tengsizlikni yeching

4) burilish nuqtalarini topamiz, ular uchun ikkinchi hosilani nolga tenglashtiramiz: 2x=0 x=0. Chunki x=0 nuqtada ikkinchi hosila chap va o'ng tomonda har xil belgilarga ega, u holda x=0 burilish nuqtasining abssissasidir. Burilish nuqtasining ordinatasini topamiz:

(0;0) burilish nuqtasi.

Yechish uchun mashqlar

No 1 Ushbu funksiyalarning hosilalarini toping, argumentning berilgan qiymati uchun hosilalarning qiymatini hisoblang:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

No 2 Murakkab funksiyalarning hosilalarini toping:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

№ 3 Muammolarni yechish:

1. Parabolaga x=3 nuqtada chizilgan tangensning burchak koeffitsientini toping.

2. y=3x 2 -x parabolaga x=1 nuqtada tangens va normal chizilgan. Ularning tenglamalarini tuzing.

3. y=x 2 +3x-10 parabolasiga tegish OX o‘qi bilan 135 0 burchak hosil qilgan nuqtaning koordinatalarini toping.

4. y=4xx2 funksiya grafigiga OX o‘qi bilan kesishgan nuqtada teginish tenglamasini tuzing.

5. y=x to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan y=x 3 -x funksiya grafigining tangensi x ning qaysi qiymatlari uchun.

6. Nuqta S=2t 3 -3t 2 +4 qonuniga binoan to'g'ri chiziqli harakat qiladi. 3-soniya oxiridagi nuqtaning tezlanishi va tezligini toping. Vaqtning qaysi nuqtasida tezlanish nolga teng bo'ladi?

7. S=t 2 -4t+5 qonuni bo'yicha harakatlanuvchi nuqtaning tezligi qachon nolga teng?

№4 Losmalar yordamida funktsiyalarni o'rganing:

1. y = x 2 funksiyaning monotonligini tekshiring

2. O'suvchi va kamayuvchi funksiyalarning oraliqlarini toping .

3. Funksiyaning ortish va kamayish oraliqlarini toping.

4. Maksimal va minimal funksiyani o‘rganing .

5. Funksiyani ekstremum uchun tekshiring .

6. Ekstremum uchun y=x3 funksiyani o‘rganing

7. Funksiyani ekstremum uchun tekshiring .

8. 24 raqamini ikkita hadga ajrating, shunda ularning mahsuloti eng katta bo'ladi.

9. Ushbu to'rtburchakning perimetri eng kichik bo'lishi uchun qog'oz varag'idan maydoni 100 sm 2 bo'lgan to'rtburchakni kesish kerak. Ushbu to'rtburchakning tomonlari qanday bo'lishi kerak?

10. Ekstremum uchun y=2x 3 -9x 2 +12x-15 funksiyani tekshirib, uning grafigini tuzing.

11. Egri chiziqni botiqlik va qavariqlikni tekshiring.

12. Egri chiziqning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini toping .

13. Funksiyalarning burilish nuqtalarini toping: a) ; b) .

14. Funksiyani o‘rganing va uning grafigini tuzing.

15. Funksiyani o‘rganing va uning grafigini tuzing.

16. Funksiyani o‘rganing va uni tuzing.

17. y=x 2 -4x+3 funksiyaning segmentdagi eng katta va eng kichik qiymatini toping.

Test savollari va misollar

1. Hosilaga ta’rif bering.

2. Argumentlar ortishi deb nimaga aytiladi? funktsiya o'sishi?

3. Hosilning geometrik ma’nosi nima?

4. Differensiallanish deb nimaga aytiladi?

5. Hosilning asosiy xossalarini sanab bering.

6. Qaysi funksiya kompleks deb ataladi? teskari?

7. Ikkinchi tartibli hosila tushunchasini keltiring.

8. Murakkab funksiyani differentsiallash qoidasini tuzing?

9. Jism S=S(t) qonuni bo‘yicha to‘g‘ri chiziqli harakat qiladi. Harakat haqida nima deya olasiz, agar:

5. Funktsiya ma'lum oraliqda ortadi. Bundan kelib chiqadiki, uning hosilasi ushbu intervalda ijobiy bo'ladimi?

6. Funksiyaning ekstremalari deb nimaga aytiladi?

7. Funksiyaning ma’lum oraliqdagi eng katta qiymati funksiyaning maksimal nuqtadagi qiymatiga to‘g‘ri keladimi?

8. Funksiya ustida aniqlanadi. x=a nuqtasi bu funksiyaning ekstremum nuqtasi bo'lishi mumkinmi?

10. Funktsiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi nolga teng. Bundan x 0 bu funksiyaning ekstremum nuqtasi ekanligi kelib chiqadimi?

Nazorat ishi

1. Ushbu funksiyalarning hosilalarini toping:

A)	e)
b)	va)
Bilan)	h)
d)	Va)

2. y=x 2 -2x-15 parabolasiga teguvchi tenglamalarni yozing: a) abscissa x=0 bo'lgan nuqtada; b) parabolaning abscissa o'qi bilan kesishgan nuqtasida.

3. Funksiyaning ortish va kamayish oraliqlarini aniqlang

4. Funksiyani o‘rganing va grafigini tuzing

5. s =2e 3 t qonun bo‘yicha harakatlanayotgan nuqtaning t=0 vaqtda tezligi va tezlanishini toping.

Mashqlar uchun javoblar

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (natija qism hosila formulasini qo'llash orqali olingan). Ushbu misolni boshqacha hal qilishingiz mumkin:

5.

8. Har bir atama 12 ga teng bo'lsa, mahsulot eng katta bo'ladi.

9. To'rtburchakning tomonlari 10 sm bo'lsa, to'rtburchakning perimetri eng kichik bo'ladi, ya'ni. kvadratni kesib olishingiz kerak.

17. Segmentda funksiya qachon 3 ga teng eng katta qiymatni oladi x=0 va eng kichik qiymat -1 at ga teng x=2.

Adabiyot

KALININGRAD SAVDO-IQTISODIYOT KOLLEJI

mavzuni o'rganish uchun

"funktsiya hosilasi"

080110 “Iqtisodiyot va buxgalteriya hisobi”, 080106 “Moliya” mutaxassisliklari talabalari uchun
080108 “Bank ishi”, 230103 “Axborotni qayta ishlash va boshqarishning avtomatlashtirilgan tizimlari”

E.A. Fedorova tomonidan tuzilgan

QALININGRAD

Taqrizchilar: Natalya Vladimirovna Gorskaya, Kaliningrad savdo-iqtisodiyot kolleji o'qituvchisi

Ushbu qo‘llanmada differensial hisoblashning asosiy tushunchalari o‘rganiladi: hosila tushunchasi, hosilalarning xossalari, analitik geometriya va mexanikada qo‘llanilishi, asosiy differensiallash formulalari berilgan, nazariy materialni tasvirlash uchun misollar keltirilgan. Qo'llanma mustaqil ish uchun mashqlar, ularga javoblar, oraliq bilimlarni nazorat qilish uchun savollar va namunaviy topshiriqlar bilan to'ldiriladi. Oʻrta maxsus taʼlim muassasalarida “Matematika” fanini tahsil olayotgan, kunduzgi, sirtqi, kechki, eksternal yoki bepul davomat boʻyicha taʼlim oluvchi talabalar uchun moʻljallangan.

KTEK
Iqtisodiyot va buxgalteriya hisobi PCC

15 nusxa, 2006 yil

Kirish. 4

Bilim va ko'nikmalarga qo'yiladigan talablar... 5

Hosila tushunchasi. 5

Hosilning geometrik ma'nosi. 7

Hosilning mexanik ma'nosi. 7

Farqlashning asosiy qoidalari. 8

Asosiy funktsiyalarni farqlash uchun formulalar. 9

Teskari funktsiyaning hosilasi. 9

Murakkab funksiyalarni differensiallash. 10

Yuqori tartibli hosilalar. o'n bir

Qisman hosilalar. o'n bir

Hosilalar yordamida funksiyalarni o‘rganish. o'n bir

O'sish va kamaytirish funktsiyasi. o'n bir

Maksimal va minimal funktsiyalar. 13

Egri chiziqning qavariqligi va botiqligi. 15

Burilish nuqtalari. 16

Funksiyalarni o'rganish va grafiklarni qurishning umumiy sxemasi. 17

Yechish uchun mashqlar. 17

Test savollari va misollar.. 20

Nazorat ishi. 20

Mashqlarga javoblar.. 21

Adabiyot. 23

Kirish

Matematik tahlil iqtisodchi ishlaydigan bir qator fundamental tushunchalarni beradi: funksiya, limit, hosila, integral, differentsial tenglama. Iqtisodiy tadqiqotlarda xos terminologiya ko'pincha hosilalarga murojaat qilish uchun ishlatiladi. Masalan, agar f(x) har qanday mahsulot ishlab chiqarishning omil tannarxiga bog'liqligini ifodalovchi ishlab chiqarish funktsiyasidir x, keyin ular qo'ng'iroq qilishadi marjinal mahsulot; Agar g(x) xarajat funktsiyasi mavjud, ya'ni. funktsiyasi g(x) jami xarajatlarning ishlab chiqarish hajmiga bog'liqligini ifodalaydi x, u holda g'(x) chaqirdi marjinal xarajat.

Iqtisodiyotda marjinal tahlil- ishlab chiqarish, iste'mol va hokazolar o'zgarganda xarajatlar yoki natijalarning o'zgaruvchan qiymatlarini o'rganish usullari to'plami. ularning chegaraviy qiymatlarini tahlil qilish asosida.

Masalan, mehnat unumdorligini topish. Funktsiya ma'lum bo'lsin u=u(t), ishlab chiqarilgan mahsulot miqdorini ifodalash u ishlayotganda t. Vaqt o'tishi bilan ishlab chiqarilgan mahsulot miqdorini hisoblaylik ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

O'rtacha mehnat unumdorligi ishlab chiqarilgan mahsulot miqdorining sarflangan vaqtga nisbati deyiladi, ya'ni. z o'rtacha. =

Ishchi mahsuldorligi hozirgi vaqtda t 0 u moyil bo'lgan chegara deyiladi z o'rtacha. da ∆t→ 0: . Shunday qilib, mehnat unumdorligini hisoblash lotinni hisoblashga to'g'ri keladi:

Ishlab chiqarish xarajatlari K bir hil ishlab chiqarish ishlab chiqarish miqdorining funktsiyasidir x, shuning uchun biz yozishimiz mumkin K=K(x). Faraz qilaylik, ishlab chiqarish miqdori ga oshdi ∆x. Ishlab chiqarish miqdori x+∆x ishlab chiqarish xarajatlariga mos keladi K(x+∆x). Binobarin, mahsulot miqdorining ortishi ∆x ishlab chiqarish xarajatlarining oshishiga to'g'ri keladi ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Ishlab chiqarish xarajatlarining o'rtacha o'sishi ∆K/∆x. Bu mahsulot miqdorining bir birligiga ishlab chiqarish xarajatlarining oshishi.

Cheklash chaqirdi marjinal ishlab chiqarish xarajatlari.