Métodos de resolução de inequações trigonométricas. Resolvendo desigualdades trigonométricas Resolvendo as desigualdades trigonométricas mais simples usando exemplos específicos

Solução das equações trigonométricas mais simples

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas para resolver as equações trigonométricas mais simples.

1. $sinx=a$

1. $cosx=a$

1. $tgx=a$

1. $ctgx=a$

Solução das desigualdades trigonométricas mais simples.

Para resolver as desigualdades trigonométricas mais simples, primeiro precisamos resolver a equação correspondente e, em seguida, usando o círculo trigonométrico, encontrar uma solução para a desigualdade. Considere as soluções das desigualdades trigonométricas mais simples por meio de exemplos.

Exemplo 1

$sinx\ge \frac(1)(2)$

Encontre uma solução para a desigualdade trigonométrica $sinx=\frac(1)(2)$

\ \

Figura 1. Solução da inequação $sinx\ge \frac(1)(2)$.

Como a desigualdade tem um sinal de “maior ou igual”, a solução está no arco superior do círculo (em relação à solução da equação).

Resposta: $\esquerda[\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(5\pi )(6)+2\pi n\direita]$.

Exemplo 2

Encontre uma solução para a desigualdade trigonométrica $cosx=\frac(\sqrt(3))(2)$

\ \

Observe a solução no círculo trigonométrico

Como a desigualdade tem sinal de “menor que”, a solução está no arco do círculo localizado à esquerda (em relação à solução da equação).

Resposta: $\esquerda(\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(11\pi )(6)+2\pi n\direita)$.

Exemplo 3

$tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$

Encontre uma solução para a desigualdade trigonométrica $tgx=\frac(\sqrt(3))(3)$

\ \

Aqui também precisamos de um domínio de definição. Como lembramos, a função tangente $x\ne \frac(\pi )(2)+\pi n,n\in Z$

Observe a solução no círculo trigonométrico

Figura 3. Solução da inequação $tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$.

Como a desigualdade tem sinal de “menor ou igual a”, a solução está nos arcos do círculo marcados em azul na Figura 3.

Resposta: $\ \left(-\frac(\pi )(2)+2\pi n\right.,\left.\frac(\pi )(6)+2\pi n\right]\cup \left(\frac(\pi )(2)+2\pi n,\right.\left.\frac(7\pi )(6)+2\pi n\right]$

Exemplo 4

Encontre uma solução para a desigualdade trigonométrica $ctgx=\sqrt(3)$

\ \

Aqui também precisamos de um domínio de definição. Como lembramos, a função tangente $x\ne \pi n,n\in Z$

Observe a solução no círculo trigonométrico

Figura 4. Solução da desigualdade $ctgx\le \sqrt(3)$.

Como a desigualdade tem sinal de “maior que”, a solução está nos arcos do círculo marcados em azul na Figura 4.

Resposta: $\ \left(2\pi n,\frac(\pi )(6)+2\pi n\right)\cup \left(\pi +2\pi n,\frac(7\pi )(6)+2\pi n\right)$

DEFINIÇÃO

Desigualdades trigonométricas são desigualdades que contêm uma variável sob o sinal de uma função trigonométrica.

Resolvendo desigualdades trigonométricas

A solução de desigualdades trigonométricas muitas vezes se resume a resolver as desigualdades trigonométricas mais simples da forma: \(\ \sin x a \), \(\ \cos x > a \), \(\ \operatorname(tg) x > a \), \(\ \operatorname(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \operatorname(tg) x \leq a \), \(\ \oper atorname(ctg) x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \operatorname(tg) x \geq a \), \(\ \operatorname(tg) x \geq a \)

As desigualdades trigonométricas mais simples são resolvidas graficamente ou usando um círculo trigonométrico unitário.

Por definição, o seno do ângulo \(\ \alpha \) é a ordenada do ponto \(\ P_(\alpha)(x, y) \) do círculo unitário (Fig. 1), e o cosseno é a abscissa deste ponto. Esse fato é usado para resolver as desigualdades trigonométricas mais simples com cosseno e seno usando o círculo unitário.

Exemplos de resolução de desigualdades trigonométricas

MÉTODOS PARA RESOLVER DESIGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS

Relevância. Historicamente, as equações e inequações trigonométricas receberam um lugar especial no currículo escolar. Podemos dizer que a trigonometria é uma das seções mais importantes curso escolar e toda a matemática em geral.

As equações e inequações trigonométricas ocupam um dos lugares centrais no curso de matemática do ensino médio, tanto no conteúdo material educacional, e pelos métodos de atividade educacional e cognitiva, que podem e devem ser formados durante seu estudo e aplicados na resolução de um grande número de problemas de natureza teórica e aplicada.

A solução de equações e desigualdades trigonométricas cria os pré-requisitos para sistematizar os conhecimentos dos alunos relacionados a todo o material educacional sobre trigonometria (por exemplo, as propriedades das funções trigonométricas, métodos para transformar expressões trigonométricas, etc.)

Em outras palavras, a consideração de métodos para resolver equações e inequações trigonométricas envolve uma espécie de transferência dessas habilidades para um novo conteúdo.

A relevância da teoria e suas inúmeras aplicações comprovam a relevância do tema escolhido. Isso, por sua vez, permite determinar as metas, objetivos e objeto de pesquisa do trabalho do curso.

Propósito do estudo: generalizar os tipos disponíveis de desigualdades trigonométricas, métodos básicos e especiais para sua solução, selecionar um conjunto de tarefas para resolver desigualdades trigonométricas por alunos.

Objetivos de pesquisa:

1. Com base na análise da literatura disponível sobre o tema da pesquisa, sistematize o material.

2. Dê um conjunto de tarefas necessárias para consolidar o tópico "Desigualdades trigonométricas".

objeto de estudo são desigualdades trigonométricas no curso de matemática escolar.

Objeto de estudo: tipos de desigualdades trigonométricas e métodos para sua solução.

Significado teórico é organizar o material.

Significado prático: aplicação de conhecimentos teóricos na resolução de problemas; análise dos principais métodos frequentemente encontrados na resolução de inequações trigonométricas.

Métodos de pesquisa : análise da literatura científica, síntese e generalização dos conhecimentos adquiridos, análise da resolução de problemas, procura de métodos óptimos de resolução de inequações.

§1. Tipos de desigualdades trigonométricas e métodos básicos para sua solução

1.1. As desigualdades trigonométricas mais simples

Duas expressões trigonométricas conectadas por um sinal ou > são chamadas de desigualdades trigonométricas.

Resolver uma desigualdade trigonométrica significa encontrar um conjunto de valores das incógnitas incluídas na desigualdade, sob os quais a desigualdade é satisfeita.

A parte principal das desigualdades trigonométricas é resolvida reduzindo-as à resolução das mais simples:

Isso pode ser um método de fatoração, mudança de variável (
,
etc.), onde a desigualdade usual é primeiro resolvida e, em seguida, a desigualdade da forma
etc., ou outras formas.

As desigualdades mais simples são resolvidas de duas maneiras: usando o círculo unitário ou graficamente.

Deixarf(x  é uma das funções trigonométricas básicas. Para resolver a desigualdade
basta encontrar sua solução em um período, ou seja, em qualquer segmento cujo comprimento é igual ao período da funçãof  x  . Então a solução da desigualdade original será toda encontradax , bem como os valores que diferem daqueles encontrados por qualquer número inteiro de períodos da função. Nesse caso, é conveniente usar o método gráfico.

Vamos dar um exemplo de um algoritmo para resolver inequações
(
) E
.

Algoritmo para resolver a desigualdade
(
).

1. Formule a definição do seno de um númerox no círculo unitário.

3. No eixo y, marque um ponto com a coordenadaa .

4. Através deste ponto, desenhe uma linha paralela ao eixo OX, e marque os pontos de interseção dela com o círculo.

5. Selecione um arco de círculo, cujos pontos tenham uma ordenada menor quea .

6. Especifique a direção do desvio (sentido anti-horário) e anote a resposta adicionando o período da função ao final do intervalo2πn ,
.

Algoritmo para resolver a desigualdade
.

1. Formule a definição da tangente de um númerox no círculo unitário.

2. Desenhe um círculo unitário.

3. Desenhe uma linha de tangentes e marque um ponto nela com uma ordenadaa .

4. Conecte este ponto à origem e marque o ponto de interseção do segmento resultante com o círculo unitário.

5. Selecione um arco de círculo, cujos pontos tenham uma ordenada na linha tangente menor quea .

6. Indique a direção da travessia e anote a resposta, levando em consideração o escopo da função, adicionando um pontopn ,
(o número do lado esquerdo do registro é sempre menor que o número do lado direito).

A interpretação gráfica das soluções para as equações e fórmulas mais simples para resolver desigualdades de forma geral é fornecida no apêndice (Apêndices 1 e 2).

Exemplo 1 Resolva a desigualdade
.

Desenhe uma linha no círculo unitário
, que intercepta a circunferência nos pontos A e B.

Todos os valoresy no intervalo NM mais , todos os pontos do arco AMB satisfazem esta desigualdade. Em todos os ângulos de rotação, grande , mas menor ,
assumirá valores maiores que (mas não mais do que um).

Figura 1

Assim, a solução da inequação serão todos os valores no intervalo
, ou seja
. Para obter todas as soluções desta desigualdade, basta somar aos extremos deste intervalo
, Onde
, ou seja
,
. Note que os valores
E
são as raízes da equação
,

aqueles.
;
.

Responder:
,
.

1.2. método gráfico

Na prática, um método gráfico para resolver desigualdades trigonométricas costuma ser útil. Considere a essência do método no exemplo da desigualdade
:

1. Se o argumento for complexo (diferente dex ), então substituímos port .

2. Construímos em um plano coordenadobrinquedo gráficos de funções
E
.

3. Encontramos taldois pontos adjacentes de interseção de gráficos, entre os quaissinusóidelocalizadomais alto direto
. Encontre as abscissas desses pontos.

4. Escreva uma desigualdade dupla para o argumentot , considerando o período do cosseno (t estará entre as abcissas encontradas).

5. Faça uma substituição reversa (retorne ao argumento original) e expresse o valorx de uma desigualdade dupla, escrevemos a resposta como um intervalo numérico.

Exemplo 2 Resolva a desigualdade: .

Ao resolver desigualdades por um método gráfico, é necessário construir gráficos de funções com a maior precisão possível. Vamos transformar a desigualdade para a forma:

Vamos construir gráficos de funções em um sistema de coordenadas
E
(Figura 2).

Figura 2

Gráficos de funções se interceptam em um pontoA com coordenadas
;
. Entre
pontos do gráfico
abaixo dos pontos do gráfico
. E quando
os valores das funções são os mesmos. É por isso
no
.

Responder:
.

1.3. método algébrico

Muitas vezes, a desigualdade trigonométrica original, por uma substituição bem escolhida, pode ser reduzida a uma desigualdade algébrica (racional ou irracional). Este método implica uma transformação de uma desigualdade, a introdução de uma substituição ou uma mudança de variável.

Vamos considerar a aplicação desse método em exemplos específicos.

Exemplo 3 Redução à forma mais simples
.

(Fig. 3)

Fig.3

,
.

Responder:
,

Exemplo 4 Resolva a desigualdade:

ODZ:
,
.

Usando fórmulas:
,

escrevemos a desigualdade na forma:
.

Ou, assumindo
após transformações simples obtemos

,

,

.

Resolvendo a última desigualdade pelo método do intervalo, obtemos:

Fig.4

, respectivamente
. Então da Fig. 4 segue
, Onde
.

Fig.5

Responder:
,
.

1.4. Método de Espaçamento

O esquema geral para resolver desigualdades trigonométricas pelo método do intervalo:

Usando fórmulas trigonométricas, fatorize.

Encontre pontos de interrupção e zeros da função, coloque-os no círculo.

Pegue qualquer pontoPARA (mas não encontrado antes) e descubra o sinal do produto. Se o produto for positivo, coloque um ponto fora do círculo unitário no raio correspondente ao ângulo. Caso contrário, coloque o ponto dentro do círculo.

Se um ponto ocorre um número par de vezes, chamamos de ponto de multiplicidade par; se ocorre um número ímpar de vezes, chamamos de ponto de multiplicidade ímpar. Desenhe arcos da seguinte forma: comece de um pontoPARA , se o próximo ponto for de multiplicidade ímpar, o arco intercepta o círculo neste ponto, mas se o ponto for de multiplicidade par, ele não intercepta.

Arcos atrás de um círculo são intervalos positivos; dentro do círculo estão lacunas negativas.

Exemplo 5 Resolva a desigualdade

,
.

Pontos da primeira série:
.

Pontos da segunda série:
.

Cada ponto ocorre um número ímpar de vezes, ou seja, todos os pontos de multiplicidade ímpar.

Descubra o sinal do produto em
: . Marcamos todos os pontos no círculo unitário (Fig. 6):

Arroz. 6

Responder:
,
;
,
;
,
.

Exemplo 6 . Resolva a desigualdade.

Solução:

Vamos encontrar os zeros da expressão .

Pegaraem :

,
;

,
;

,
;

,
;

No círculo unitário, os valores da sériex 1 representado por pontos
. Seriesx 2 dá pontos
. Uma sériex 3 ganhamos dois pontos
. Por fim, uma sériex 4 representará pontos
. Colocamos todos esses pontos no círculo unitário, indicando entre parênteses ao lado de cada um de sua multiplicidade.

Agora deixe o número será igual. Fazemos uma estimativa pelo sinal:

Então o pontoA deve ser escolhido na viga que forma o ângulo com vigaOh, fora do círculo unitário. (Observe que o feixe auxiliarSOBRE A não precisa ser mostrado na foto. PontoA selecionado aproximadamente.)

Agora do pontoA desenhamos uma linha contínua ondulada sequencialmente a todos os pontos marcados. E nos pontos
nossa linha passa de uma região para outra: se estava fora do círculo unitário, passa para dentro dele. Aproximando-se do ponto , a reta volta para a região interna, pois a multiplicidade deste ponto é par. Da mesma forma no ponto (com uma multiplicidade par) a linha deve ser rotacionada para a região externa. Então, desenhamos uma certa imagem representada na Fig. 7. Isso ajuda a destacar as áreas desejadas no círculo unitário. Eles são marcados com um "+".

Fig.7

Resposta final:

Observação. Se a linha ondulada, depois de percorrer todos os pontos marcados no círculo unitário, não puder retornar ao pontoA , sem cruzar o círculo em um local “ilegal”, isso significa que houve um erro na solução, ou seja, um número ímpar de raízes foi omitido.

Responder: .

§2. Um conjunto de tarefas para resolver desigualdades trigonométricas

No processo de desenvolvimento da capacidade dos alunos em resolver desigualdades trigonométricas, também podem ser distinguidas 3 etapas.

1. preparatório,

2. formação de habilidades para resolver as inequações trigonométricas mais simples;

3. introdução de desigualdades trigonométricas de outros tipos.

O objetivo da etapa preparatória é que seja necessário formar nos alunos a capacidade de usar um círculo ou gráfico trigonométrico para resolver inequações, a saber:

Capacidade de resolver inequações simples da forma
,
,
,
, usando as propriedades das funções seno e cosseno;

Capacidade de fazer inequações duplas para arcos de um círculo numérico ou para arcos de gráficos de funções;

Capacidade de realizar várias transformações de expressões trigonométricas.

Recomenda-se implementar esta etapa no processo de sistematização do conhecimento dos escolares sobre as propriedades das funções trigonométricas. Os principais meios podem ser tarefas oferecidas aos alunos e realizadas sob a orientação de um professor ou de forma independente, bem como habilidades adquiridas na resolução de equações trigonométricas.

Aqui estão exemplos de tais tarefas:

1 . Marque um ponto no círculo unitário , Se

.

2. Em que quarto do plano coordenado está o ponto , Se é igual a:

3. Marcar pontos no círculo trigonométrico , Se:

4. Traga a expressão para funções trigonométricasEUtrimestres.

A)
, b)
, V)

5. Dado o arco MR.M - meioEUº trimestre,R - meioIIº trimestre. Restringir o valor de uma variávelt para: (compõe uma dupla desigualdade) a) arco MP; b) Arcos RM.

6. Escreva uma desigualdade dupla para as seções selecionadas do gráfico:

Arroz. 1

7. Resolver desigualdades
,
,
,
.

8. Converter expressão .

Na segunda etapa do aprendizado da resolução de inequações trigonométricas, podemos oferecer as seguintes recomendações relacionadas à metodologia de organização das atividades dos alunos. Ao mesmo tempo, é necessário focar nas habilidades dos alunos para trabalhar com um círculo ou gráfico trigonométrico, que são formados durante a solução das equações trigonométricas mais simples.

Primeiro, é possível motivar a conveniência de obter um método geral para resolver as desigualdades trigonométricas mais simples referindo-se, por exemplo, a uma desigualdade da forma
. Usando os conhecimentos e habilidades adquiridos na fase preparatória, os alunos trarão a desigualdade proposta para a forma
, mas pode achar difícil encontrar um conjunto de soluções para a desigualdade resultante, pois é impossível resolvê-lo usando apenas as propriedades da função seno. Essa dificuldade pode ser evitada consultando a ilustração apropriada (solução da equação graficamente ou usando um círculo unitário).

Em segundo lugar, o professor deve chamar a atenção dos alunos para as diferentes formas de realizar a tarefa, dar um exemplo adequado de resolução da inequação tanto graficamente quanto usando o círculo trigonométrico.

Considere essas opções para resolver a desigualdade
.

1. Resolvendo a inequação usando o círculo unitário.

Na primeira lição sobre resolução de inequações trigonométricas, ofereceremos aos alunos um algoritmo de solução detalhado, que em uma apresentação passo a passo reflete todas as habilidades básicas necessárias para resolver a inequação.

Passo 1.Desenhe um círculo unitário, marque um ponto no eixo y e desenhe uma linha reta paralela ao eixo x. Esta linha irá interceptar o círculo unitário em dois pontos. Cada um desses pontos representa números cujo seno é igual a .

Passo 2Essa linha reta dividia o círculo em dois arcos. Vamos destacar aquele em que são exibidos números com seno maior que . Naturalmente, este arco está localizado acima da linha reta desenhada.

Arroz. 2

etapa 3Vamos escolher uma das extremidades do arco marcado. Vamos anotar um dos números que é representado por este ponto do círculo unitário .

Passo 4Para escolher um número correspondente à segunda extremidade do arco selecionado, "passamos" ao longo deste arco da extremidade nomeada para a outra. Ao mesmo tempo, lembramos que ao mover no sentido anti-horário, os números pelos quais passaremos aumentam (ao mover na direção oposta, os números diminuiriam). Vamos anotar o número representado no círculo unitário na segunda extremidade do arco marcado .

Assim, vemos que a desigualdade
satisfazem os números para os quais a desigualdade
. Resolvemos a desigualdade para números localizados no mesmo período da função seno. Portanto, todas as soluções da desigualdade podem ser escritas como

Os alunos devem ser solicitados a considerar cuidadosamente a figura e descobrir por que todas as soluções para a desigualdade
pode ser escrito na forma
,
.

Arroz. 3

É necessário chamar a atenção dos alunos para o fato de que, ao resolver as desigualdades da função cosseno, traçamos uma linha reta paralela ao eixo y.

Maneira gráfica de resolver a inequação.

Construindo gráficos
E
, dado que
.

Arroz. 4

Então escrevemos a equação
e a solução dele
,
,
, encontrado usando fórmulas
,
,
.

(Dandon valores 0, 1, 2, encontramos três raízes da equação composta). valores
são três abcissas consecutivas dos pontos de interseção dos gráficos
E
. Obviamente, sempre no intervalo
a desigualdade
, e no intervalo
- desigualdade
. Estamos interessados ​​no primeiro caso, e então somando nas pontas desse intervalo um número que é múltiplo do período seno, obtemos uma solução para a inequação
como:
,
.

Arroz. 5

Resumir. Para resolver a desigualdade
, você precisa escrever a equação correspondente e resolvê-la. A partir da fórmula resultante, encontre as raízes E , e escreva a resposta da desigualdade na forma: ,
.

Em terceiro lugar, o fato sobre o conjunto de raízes da desigualdade trigonométrica correspondente é claramente confirmado ao resolvê-lo graficamente.

Arroz. 6

É necessário demonstrar aos alunos que a bobina, que é a solução da inequação, se repete em um mesmo intervalo, igual ao período da função trigonométrica. Você também pode considerar uma ilustração semelhante para o gráfico da função seno.

Em quarto lugar, é aconselhável realizar um trabalho de atualização dos métodos dos alunos para converter a soma (diferença) das funções trigonométricas em um produto, para chamar a atenção dos alunos para o papel dessas técnicas na resolução de desigualdades trigonométricas.

Tal trabalho pode ser organizado através do cumprimento independente pelos alunos das tarefas propostas pelo professor, entre as quais destacamos as seguintes:

Quinto, os alunos devem ser solicitados a ilustrar a solução de cada desigualdade trigonométrica simples usando um gráfico ou um círculo trigonométrico. Certifique-se de prestar atenção à sua conveniência, especialmente ao uso de um círculo, pois ao resolver desigualdades trigonométricas, a ilustração correspondente serve como um meio muito conveniente de fixar o conjunto de soluções para uma determinada desigualdade

Familiarização dos alunos com métodos para resolver desigualdades trigonométricas que não são as mais simples, é aconselhável realizar de acordo com o seguinte esquema: referindo-se a uma desigualdade trigonométrica específica referindo-se à equação trigonométrica correspondente busca conjunta (professor - alunos) para uma transferência independente da solução da técnica encontrada para outras desigualdades do mesmo tipo.

Para sistematizar o conhecimento dos alunos sobre trigonometria, recomendamos selecionar especificamente tais desigualdades, cuja solução requer várias transformações que podem ser implementadas no processo de resolvê-las, concentrando a atenção dos alunos em suas características.

Como tais desigualdades produtivas, podemos propor, por exemplo, o seguinte:

Em conclusão, damos um exemplo de um conjunto de problemas para resolver desigualdades trigonométricas.

1. Resolva as desigualdades:

A)
, satisfazendo a condição
;

b)
, satisfazendo a condição
.

5. Encontre todas as soluções de inequações:

A) ;

b) ;

V)
;

G)
;

e)
.

6. Resolva as inequações:

A) ;

b) ;

V);

G)
;

e) ;

e) ;

e)
.

7. Resolva as desigualdades:

A)
;

b) ;

V);

G) .

8. Resolva as inequações:

A) ;

b) ;

V);

G)
;

e)
;

e) ;

e)
;

h) .

É aconselhável oferecer tarefas 6 e 7 para alunos que estudam matemática em nível avançado, tarefa 8 - para alunos em aulas com estudo aprofundado de matemática.

§3. Métodos especiais para resolver inequações trigonométricas

Métodos especiais para resolver equações trigonométricas - ou seja, aqueles métodos que só podem ser usados ​​para resolver equações trigonométricas. Esses métodos são baseados no uso das propriedades das funções trigonométricas, bem como no uso de várias fórmulas e identidades trigonométricas.

3.1. Método Setorial

Considere o método do setor para resolver desigualdades trigonométricas. Solução de inequações da forma

, OndeP ( x ) EQ ( x ) - funções trigonométricas racionais (senos, cossenos, tangentes e cotangentes entram nelas racionalmente), de forma semelhante à solução de desigualdades racionais. É conveniente resolver desigualdades racionais pelo método dos intervalos no eixo real. Seu análogo na solução de desigualdades trigonométricas racionais é o método dos setores em um círculo trigonométrico, porsinx Ecosx (
) ou um semicírculo trigonométrico paratgx Ectgx (
).

No método do intervalo, cada fator linear do numerador e denominador da forma
ponto no eixo numérico , e ao passar por este ponto
muda de sinal. No método do setor, cada multiplicador da forma
, Onde
- uma das funçõessinx oucosx E
, em um círculo trigonométrico correspondem dois ângulos E
, que dividem o círculo em dois setores. Ao passar por E função
muda de sinal.

O seguinte deve ser lembrado:

a) Multiplicadores da forma
E
, Onde
, mantenha o sinal para todos os valores . Tais multiplicadores do numerador e denominador são descartados, mudando (se
) em cada uma dessas rejeições, o sinal de desigualdade é invertido.

b) Multiplicadores da forma
E
também são descartados. Além disso, se esses são fatores do denominador, então as desigualdades da forma são adicionadas ao sistema equivalente de desigualdades
E
. Se estes são fatores do numerador, então no sistema equivalente de restrições eles correspondem às desigualdades
E
no caso de desigualdade inicial estrita, e igualdade
E
no caso de uma desigualdade inicial não estrita. Ao baixar o multiplicador
ou
o sinal de desigualdade é invertido.

Exemplo 1 Resolva as inequações: a)
, b)
. temos uma função, b). Resolva a desigualdade Temos

3.2. Método do círculo concêntrico

Este método é análogo ao método de eixos numéricos paralelos na resolução de sistemas de desigualdades racionais.

Considere um exemplo de um sistema de desigualdades.

Exemplo 5 Resolver um sistema de desigualdades trigonométricas simples

Primeiro, resolvemos cada desigualdade separadamente (Figura 5). No canto superior direito da figura, indicaremos para qual argumento o círculo trigonométrico é considerado.

Fig.5

Em seguida, construímos um sistema de círculos concêntricos para o argumentox . Desenhamos um círculo e sombreamos de acordo com a solução da primeira desigualdade, depois desenhamos um círculo de raio maior e sombreamos de acordo com a solução da segunda, depois construímos um círculo para a terceira desigualdade e um círculo de base. Desenhamos raios do centro do sistema até as extremidades dos arcos para que eles intersectem todos os círculos. Formamos uma solução no círculo base (Figura 6).

Fig.6

Responder:
,
.

Conclusão

Todos os objetivos do curso foram cumpridos. O material teórico é sistematizado: são apresentados os principais tipos de desigualdades trigonométricas e os principais métodos para sua solução (gráfico, algébrico, método dos intervalos, setores e método dos círculos concêntricos). Para cada método, um exemplo de resolução de uma desigualdade foi dado. A parte teórica foi seguida pela parte prática. Ele contém um conjunto de tarefas para resolver desigualdades trigonométricas.

Este curso pode ser usado pelos alunos para trabalhos independentes. Os alunos podem verificar o nível de assimilação deste tópico, praticar na execução de tarefas de complexidade variável.

Tendo trabalhado a literatura relevante sobre o assunto, obviamente, podemos concluir que a habilidade e as habilidades para resolver inequações trigonométricas no curso escolar de álgebra e no início da análise são muito importantes, cujo desenvolvimento requer um esforço considerável por parte do professor de matemática.

Portanto, este trabalho será útil para professores de matemática, pois possibilita organizar de forma eficaz a formação de alunos sobre o tema “Desigualdades trigonométricas”.

O estudo pode ser continuado expandindo-o para o trabalho de qualificação final.

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Kulanin, E. D. 3000 problemas competitivos em matemática [Texto] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p.

Leibson, K. L. Coleção de tarefas práticas em matemática [Texto] / K.L. Leibson. – M.: Bustard, 2010. – 182 p.

Cotovelo, V. V. Problemas com parâmetros e sua solução. Trigonometria: equações, inequações, sistemas. Nota 10 [Texto] / V.V. Cotovelo. – M.: ARKTI, 2008. – 64 p.

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Anexo 1

Interpretação gráfica de soluções para as desigualdades mais simples

Arroz. 1

Arroz. 2

Fig.3

Fig.4

Fig.5

Fig.6

Fig.7

Fig.8

Apêndice 2

Soluções para as desigualdades mais simples

Ministério da Educação da República da Bielorrússia

instituição educacional

"Universidade Estadual de Gomel

nomeado após Francysk Skaryna"

Faculdade de Matemática

Departamento de Álgebra e Geometria

Elegível para defesa

Cabeça Departamento Shemetkov L.A.

Equações e inequações trigonométricas

trabalho do curso

Executor:

grupo de estudantes M-51

CM. Gorsky

Conselheiro científico

Professor experiente

V.G. Safonov

Gomel 2008

INTRODUÇÃO

MÉTODOS BÁSICOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

fatoração

Resolver equações convertendo o produto de funções trigonométricas em uma soma

Resolvendo Equações Usando Fórmulas de Argumento Triplo

Multiplicação por alguma função trigonométrica

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NÃO PADRÃO

DESIGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS

SELEÇÃO DE RAÍZES

TAREFAS PARA SOLUÇÃO INDEPENDENTE

CONCLUSÃO

LISTA DE FONTES USADAS

Nos tempos antigos, a trigonometria surgiu em conexão com as necessidades de astronomia, agrimensura e construção, ou seja, era de natureza puramente geométrica e representada principalmente<<исчисление хорд>>. Com o tempo, alguns pontos analíticos começaram a se intercalar nele. Na primeira metade do século 18, houve uma virada acentuada, após a qual a trigonometria tomou uma nova direção e mudou para a análise matemática. Foi nessa época que as dependências trigonométricas começaram a ser consideradas como funções.

As equações trigonométricas são uma das mais tópicos difíceis na matemática escolar. As equações trigonométricas surgem na resolução de problemas de planimetria, geometria sólida, astronomia, física e outras áreas. Equações trigonométricas e desigualdades de ano para ano são encontradas entre as tarefas do teste centralizado.

A diferença mais importante entre as equações trigonométricas e as algébricas é que as equações algébricas têm um número finito de raízes, enquanto as equações trigonométricas --- infinito, o que complica muito a seleção das raízes. Outra especificidade das equações trigonométricas é a forma não única de escrever a resposta.

Esta tese é dedicada a métodos para resolver equações e inequações trigonométricas.

O trabalho de diploma consiste em 6 seções.

A primeira seção contém as informações teóricas básicas: a definição e as propriedades das funções trigonométricas e trigonométricas inversas; tabela de valores de funções trigonométricas para alguns argumentos; expressão de funções trigonométricas em termos de outras funções trigonométricas, o que é muito importante para a conversão de expressões trigonométricas, especialmente aquelas que contêm funções trigonométricas inversas; além das fórmulas trigonométricas básicas, bem conhecidas do curso escolar, são dadas fórmulas que simplificam expressões contendo funções trigonométricas inversas.

A segunda seção descreve os principais métodos para resolver equações trigonométricas. A solução de equações trigonométricas elementares, o método de fatoração, métodos de redução de equações trigonométricas a equações algébricas são considerados. Tendo em vista que as soluções das equações trigonométricas podem ser escritas de várias maneiras, e a forma dessas soluções não permite estabelecer imediatamente se essas soluções são iguais ou diferentes, o que pode<<сбить с толку>> ao resolver testes, um esquema geral para resolver equações trigonométricas é considerado e a transformação de grupos de soluções gerais de equações trigonométricas é considerada em detalhes.

A terceira seção trata de equações trigonométricas não padronizadas, cujas soluções são baseadas na abordagem funcional.

A quarta seção trata das desigualdades trigonométricas. Métodos para resolver desigualdades trigonométricas elementares, tanto em um círculo unitário quanto por um método gráfico, são considerados em detalhes. Descreve-se o processo de resolução de inequações trigonométricas não elementares por meio de inequações elementares e o método dos intervalos já bem conhecido dos escolares.

A quinta seção apresenta as tarefas mais difíceis: quando é necessário não apenas resolver uma equação trigonométrica, mas também selecionar raízes das raízes encontradas que satisfaçam alguma condição. Esta seção fornece soluções para tarefas típicas de seleção de raízes. São fornecidas as informações teóricas necessárias para a seleção de raízes: a partição do conjunto de números inteiros em subconjuntos sem interseção, a solução de equações em números inteiros (diofantino).

A sexta seção apresenta tarefas para solução independente, projetadas na forma de um teste. As 20 tarefas de teste listam as tarefas mais difíceis que podem ser encontradas em testes centralizados.

Equações trigonométricas elementares

Equações trigonométricas elementares são equações da forma , onde é uma das funções trigonométricas: , , , .

As equações trigonométricas elementares têm infinitas raízes. Por exemplo, os seguintes valores satisfazem a equação: , , , etc. A fórmula geral pela qual todas as raízes da equação são encontradas, onde , é:

Aqui pode assumir qualquer valor inteiro, cada um deles corresponde a uma certa raiz da equação; nesta fórmula (assim como em outras fórmulas pelas quais as equações trigonométricas elementares são resolvidas) é chamada parâmetro. Eles geralmente escrevem, enfatizando assim que o parâmetro pode aceitar qualquer valor inteiro.

As soluções da equação , onde , são encontradas pela fórmula

A equação é resolvida aplicando a fórmula

e a equação --- de acordo com a fórmula

Observemos especialmente alguns casos especiais de equações trigonométricas elementares, quando a solução pode ser escrita sem o uso de fórmulas gerais:

Ao resolver equações trigonométricas, o período das funções trigonométricas desempenha um papel importante. Portanto, apresentamos dois teoremas úteis:

Teorema Se --- o período principal da função, o número é o período principal da função.

Os períodos das funções e são ditos comensuráveis ​​se existirem inteiros E daí .

Teorema Se as funções periódicas e , são comensuráveis ​​e , então elas têm um período comum , que é o período das funções , , .

O teorema diz qual é o período da função , , , e não é necessariamente o período principal. Por exemplo, o período principal das funções e é --- , e o período principal de seu produto é --- .

Introdução de um argumento auxiliar

A maneira padrão de converter expressões do formulário é o seguinte truque: deixe --- canto, dada pelas igualdades , . Para qualquer e tal ângulo existe. Por isso . Se , ou , , , caso contrário .

Esquema para resolver equações trigonométricas

O esquema principal pelo qual seremos guiados ao resolver equações trigonométricas é o seguinte:

a solução da equação dada é reduzida à solução de equações elementares. Soluções --- transformações, fatorações, substituição de incógnitas. O princípio orientador é não perder as raízes. Isso significa que, ao passar para a próxima equação (equações), não temos medo do aparecimento de raízes extras (estranhas), mas apenas nos preocupamos que cada equação subsequente de nossa "cadeia" (ou um conjunto de equações no caso de ramificação) seja uma consequência da anterior. Um método possível para selecionar raízes é verificar. Notamos desde já que no caso das equações trigonométricas, as dificuldades associadas à seleção das raízes, com verificação, via de regra, aumentam acentuadamente em comparação com as equações algébricas. Afinal, você precisa verificar a série, composta por um número infinito de membros.

Menção especial deve ser feita à mudança de incógnitas na resolução de equações trigonométricas. Na maioria dos casos, após a substituição necessária, obtém-se uma equação algébrica. Além disso, as equações não são tão raras que, embora sejam trigonométricas na aparência, em essência não o são, porque já após a primeira etapa --- mudança de variáveis ​​--- elas se transformam em algébricas, e o retorno à trigonometria ocorre apenas na fase de resolução de equações trigonométricas elementares.

Relembramos mais uma vez: a substituição da incógnita deve ser feita o quanto antes, a equação obtida após a substituição deve ser resolvida até o final, incluindo a etapa de seleção das raízes, e só então retornará à incógnita original.

Uma das características das equações trigonométricas é que a resposta em muitos casos pode ser escrita de várias maneiras. Mesmo para resolver a equação a resposta pode ser escrita assim:

1) na forma de duas séries: , , ;

2) na forma padrão, que é a união das séries acima: , ;

3) porque , então a resposta pode ser escrita como , . (Além disso, a presença do parâmetro , , ou no registro da resposta significa automaticamente que este parâmetro assume todos os valores inteiros possíveis. Exceções serão estipuladas.)

Obviamente, os três casos listados não esgotam todas as possibilidades de escrever a resposta para a equação em questão (são infinitas).

Por exemplo, para . Portanto, nos dois primeiros casos, se , podemos substituir por .

Normalmente, a resposta é escrita com base no parágrafo 2. É útil lembrar a seguinte recomendação: se o trabalho não terminar com a solução da equação, ainda é necessário realizar um estudo, a seleção das raízes, então a forma mais conveniente de registro é indicada no parágrafo 1. (Uma recomendação semelhante deve ser dada para a equação.)

Vamos considerar um exemplo que ilustra o que foi dito.

Exemplo Resolva a equação.

Solução. O mais óbvio é o seguinte. Esta equação se divide em duas: e . Resolvendo cada um deles e combinando as respostas obtidas, encontramos .

Outra maneira. Desde , então, substituindo e pelas fórmulas de redução. Após pequenas transformações, obtemos , de onde .

À primeira vista, a segunda fórmula não tem vantagens particulares sobre a primeira. No entanto, se tomarmos, por exemplo, , verifica-se que , ou seja, a equação tem uma solução, enquanto a primeira forma nos leva à resposta . "Veja" e prove a igualdade não tão fácil.

Responder. .

Transformação e união de grupos de soluções gerais de equações trigonométricas

Vamos considerar uma progressão aritmética que se estende indefinidamente em ambas as direções. Os termos dessa progressão podem ser divididos em dois grupos de termos, localizados à direita e à esquerda de um determinado termo, denominado termo central ou zero da progressão.

Fixando um dos termos da progressão infinita com um número zero, teremos que realizar uma dupla numeração para todos os termos restantes: positiva para os termos localizados à direita e negativa para os termos localizados à esquerda do zero.

No caso geral, se a diferença da progressão for o termo zero, a fórmula para qualquer (ésimo) termo da progressão aritmética infinita é:

Transformações de fórmula para qualquer membro de uma progressão aritmética infinita

1. Se adicionarmos ou subtrairmos a diferença da progressão para o termo zero, a progressão não mudará disso, mas apenas o termo zero se moverá, ou seja, a numeração dos membros mudará.

2. Se o coeficiente de uma variável for multiplicado por , isso resultará apenas em uma permutação dos grupos de membros à direita e à esquerda.

3. Se membros sucessivos de uma progressão infinita

por exemplo , , , ..., , para tornar os termos centrais de progressões com a mesma diferença igual a:

então a progressão e a série de progressões expressam os mesmos números.

Exemplo A linha pode ser substituída pelas três linhas a seguir: , , .

4. Se progressões infinitas com a mesma diferença tiverem números como membros centrais que formam uma progressão aritmética com uma diferença , então essas séries podem ser substituídas por uma progressão com uma diferença , e com um membro central igual a qualquer um dos membros centrais dessas progressões, ou seja, Se

então essas progressões são combinadas em uma:

Exemplo , , , ambos são combinados em um grupo, pois .

Para transformar grupos que possuem soluções comuns em grupos que não possuem soluções comuns, esses grupos são decompostos em grupos com um período comum e, a seguir, tentamos combinar os grupos resultantes, excluindo os repetidos.

fatoração

O método de fatoração é o seguinte: se

então qualquer solução da equação

é a solução do conjunto de equações

A afirmação inversa é, de um modo geral, falsa: nem toda solução do conjunto é uma solução para a equação. Isso se deve ao fato de que as soluções de equações individuais podem não estar incluídas no domínio de definição da função.

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Usando a identidade trigonométrica básica, representamos a equação na forma

Responder. ; .

Convertendo a soma de funções trigonométricas em um produto

Exemplo resolva a equação .

Solução. Aplicamos a fórmula, obtemos uma equação equivalente

Responder. .

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Nesse caso, antes de aplicar as fórmulas da soma das funções trigonométricas, deve-se usar a fórmula de redução . Como resultado, obtemos uma equação equivalente

Responder. , .

Resolver equações convertendo o produto de funções trigonométricas em uma soma

Ao resolver uma série de equações, as fórmulas são usadas.

Exemplo resolva a equação

Solução.

Responder. , .

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Aplicando a fórmula, obtemos uma equação equivalente:

Responder. .

Resolvendo Equações Usando Fórmulas de Redução

Ao resolver uma ampla gama de equações trigonométricas, as fórmulas desempenham um papel fundamental.

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Aplicando a fórmula, obtemos uma equação equivalente.

Responder. ; .

Resolvendo Equações Usando Fórmulas de Argumento Triplo

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Aplicamos a fórmula, obtemos a equação

Responder. ; .

Exemplo resolva a equação .

Solução. Aplicando as fórmulas para abaixar o grau, obtemos: . Aplicando temos:

Responder. ; .

Igualdade de funções trigonométricas de mesmo nome

Exemplo Resolva a equação.

Solução.

Responder. , .

Exemplo resolva a equação .

Solução. Vamos transformar a equação.

Responder. .

Exemplo Sabe-se que e satisfaz a equação

Encontre a soma.

Solução. Segue da equação que

Responder. .

Considere somas da forma

Essas somas podem ser convertidas em um produto multiplicando-as e dividindo-as por , então obtemos

Esta técnica pode ser usada para resolver algumas equações trigonométricas, mas deve-se ter em mente que, como resultado, podem aparecer raízes estranhas. Aqui está uma generalização dessas fórmulas:

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Pode-se ver que o conjunto é uma solução para a equação original. Portanto, multiplicar os lados esquerdo e direito da equação por não leva ao aparecimento de raízes extras.

Nós temos .

Responder. ; .

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Multiplicamos os lados esquerdo e direito da equação por e aplicando as fórmulas para converter o produto das funções trigonométricas em uma soma, obtemos

Esta equação é equivalente ao conjunto de duas equações e , onde e .

Como as raízes da equação não são as raízes da equação, os conjuntos de soluções resultantes devem ser excluídos. Portanto, no conjunto, você precisa excluir .

Responder. E , .

Exemplo resolva a equação .

Solução. Vamos transformar a expressão:

A equação será escrita na forma:

Responder. .

Redução de equações trigonométricas para equações algébricas

Reduzindo ao quadrado

Se a equação parecer

então a substituição traz para um quadrado, porque () E.

Se ao invés do prazo houver , a substituição necessária será .

A equação

reduz à equação quadrática

apresentação como . É fácil verificar que para os quais , não são raízes da equação, e fazendo a alteração , a equação se reduz a uma quadrática.

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Vamos movê-lo para o lado esquerdo, substituí-lo por , e expressar por e .

Após simplificações, obtemos: . Divida termo a termo por , faça a substituição:

Voltando a , encontramos .

Equações homogêneas em relação a ,

Considere uma equação da forma

onde , , , ..., , são números reais. Em cada termo do lado esquerdo da equação, os graus dos monômios são iguais, ou seja, a soma dos graus do seno e do cosseno é igual e igual a. Tal equação é chamada homogêneo em relação a e , e o número é chamado indicador de homogeneidade .

É claro que se , então a equação terá a forma:

cujas soluções são os valores para os quais , ou seja, os números , . A segunda equação, escrita entre colchetes, também é homogênea, mas os graus são 1 menor.

Se , então esses números não são as raízes da equação.

Quando obtemos: , e o lado esquerdo da equação (1) assume o valor .

Portanto, para , e , portanto, ambos os lados da equação podem ser divididos por . Como resultado, obtemos a equação:

que, por substituição, é facilmente reduzido ao algébrico:

Equações homogêneas com índice de homogeneidade 1. Em , temos a equação .

Se , então esta equação é equivalente à equação , , onde , .

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Esta equação é homogênea de primeiro grau. Dividindo ambas as suas partes por obtemos: , , , .

Responder. .

Exemplo Em , obtemos uma equação homogênea da forma

Solução.

Se , então dividimos ambos os lados da equação por , obtemos a equação , que pode ser facilmente reduzido a um quadrado por substituição: . Se , então a equação tem raízes reais , . A equação original terá dois grupos de soluções: , , .

Se , então a equação não tem solução.

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Esta equação é homogênea de segundo grau. Dividindo ambos os lados da equação por , obtemos: . Seja , então , , . , , ; , , .

Responder. .

A equação é reduzida a uma equação da forma

Para fazer isso, basta usar a identidade

Em particular, a equação se reduz a uma homogênea se substituída por , obtemos a equação equivalente:

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Vamos transformar a equação em uma homogênea:

Divida ambos os lados da equação por , obtemos a equação:

Deixe , então chegamos à equação quadrática: , , , , .

Responder. .

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação, dado que eles têm valores positivos: , ,

Deixe , então nós obtemos , , .

Responder. .

Equações Resolvidas Usando Identidades

É útil conhecer as seguintes fórmulas:

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Usando, obtemos

Responder.

Oferecemos não as próprias fórmulas, mas a maneira de derivá-las:

por isso,

Da mesma maneira, .

Exemplo resolva a equação .

Solução. Vamos transformar a expressão:

A equação será escrita na forma:

Tomando , obtemos . , . Por isso

Responder. .

Substituição trigonométrica universal

Equação trigonométrica da forma

onde --- uma função racional com a ajuda de fórmulas -- , bem como com a ajuda de fórmulas -- pode ser reduzida a uma equação racional em relação aos argumentos , , , , após o que a equação pode ser reduzida a uma equação algébrica racional em relação ao uso das fórmulas de substituição trigonométrica universal

Deve-se notar que o uso de fórmulas pode levar a um estreitamento do ODZ da equação original, uma vez que não é definido nos pontos , portanto, nesses casos, é necessário verificar se os ângulos são as raízes da equação original.

Exemplo Resolva a equação.

Solução. De acordo com a tarefa. Aplicando as fórmulas e fazendo a substituição, obtemos

de onde e, portanto, .

Equações da forma

As equações da forma , onde é um polinômio, são resolvidas alterando as incógnitas

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Fazendo a substituição e levando em conta que , obtemos

onde , . --- raiz estranha, porque . Raízes da equação são .

Uso de funções limitadas

Na prática de testes centralizados, não é incomum encontrar equações cuja solução é baseada na limitação das funções e . Por exemplo:

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Desde , , então o lado esquerdo não excede e é igual a , se

Para encontrar os valores que satisfazem ambas as equações, procedemos da seguinte forma. Resolvemos um deles e, entre os valores encontrados, selecionamos aqueles que satisfazem o outro.

Vamos começar com o segundo: , . Então , .

É claro que apenas para números pares será .

Responder. .

Outra ideia é realizada resolvendo a seguinte equação:

Exemplo resolva a equação .

Solução. Vamos usar a propriedade da função exponencial: , .

Somando essas desigualdades termo a termo, temos:

Portanto, o lado esquerdo desta equação é igual se e somente se as duas igualdades forem válidas:

ou seja, pode assumir os valores , , , ou pode assumir os valores , .

Responder. , .

Exemplo resolva a equação .

Solução., . Por isso, .

Responder. .

Exemplo resolva a equação

Solução. Denote , então a partir da definição da função trigonométrica inversa temos E .

Como , a desigualdade segue da equação, ou seja, . Desde e , então e . No entanto, e portanto.

Se e , então . Desde que foi previamente estabelecido que , então .

Responder. , .

Exemplo resolva a equação

Solução. O intervalo de valores válidos da equação é .

Vamos primeiro mostrar que a função

Para qualquer, pode levar apenas valores positivos.

Vamos representar a função da seguinte forma: .

Desde então , ou seja, .

Portanto, para provar a desigualdade , é necessário mostrar que . Para este fim, nós elevamos ao cubo ambas as partes desta desigualdade, então

A desigualdade numérica resultante indica que . Se também levarmos em conta que , então o lado esquerdo da equação é não negativo.

Considere agora o lado direito da equação.

Porque , Que

No entanto, sabe-se que . Segue-se daqui que , ou seja, o lado direito da equação não exceda . Anteriormente, foi provado que o lado esquerdo da equação é não negativo, portanto, a igualdade em só pode ocorrer no caso em que ambas as partes são iguais, e isso só é possível para .

Responder. .

Exemplo resolva a equação

Solução. Denotar e . Aplicando a desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky, obtemos . Daí segue que . Por outro lado, existe . Portanto, a equação não tem raízes.

Responder. .

Exemplo Resolva a equação:

Solução. Vamos reescrever a equação na forma:

Responder. .

Métodos funcionais para resolver equações trigonométricas e combinadas

Nem toda equação como resultado de transformações pode ser reduzida a uma equação de uma ou outra forma padrão, para a qual existe um determinado método de solução. Nesses casos, acaba sendo útil usar tais propriedades das funções e como monotonicidade, limitação, uniformidade, periodicidade, etc. Portanto, se uma das funções diminui e a segunda aumenta no intervalo, se a equação tiver uma raiz nesse intervalo, essa raiz é única e, por exemplo, pode ser encontrada por seleção. Se a função é limitada por cima, e , e a função é limitada por baixo, e , então a equação é equivalente ao sistema de equações

Exemplo resolva a equação

Solução. Transformamos a equação original na forma

e resolva-o como um quadrado em relação a . Então nós pegamos

Vamos resolver a primeira equação do conjunto. Levando em conta a limitação da função, chegamos à conclusão de que a equação pode ter raiz apenas no intervalo. Nesse intervalo, a função aumenta e a função diminui. Portanto, se esta equação tem uma raiz, então ela é única. Nós encontramos por seleção.

Responder. .

Exemplo resolva a equação

Solução. Deixe, e , então a equação original pode ser escrita como uma equação funcional . Como a função é ímpar, então . Neste caso, obtemos a equação

Como , e é monotônico em , a equação é equivalente à equação , ou seja , que tem uma única raiz .

Responder. .

Exemplo resolva a equação .

Solução. Com base no teorema da derivada de uma função complexa, fica claro que a função decrescente (função decrescente, crescente, decrescente). A partir disso fica claro que a função definido em , diminuindo. Portanto, esta equação tem no máximo uma raiz. Porque , Que

Responder. .

Exemplo Resolva a equação.

Solução. Considere a equação em três intervalos.

a) Deixe . Então, neste conjunto, a equação original é equivalente à equação . Que não tem soluções no intervalo, pois , , A . No intervalo, a equação original também não tem raízes, porque , A .

b) Deixe . Então, neste conjunto, a equação original é equivalente à equação

cujas raízes no intervalo são os números , , , .

c) Deixe . Então, neste conjunto, a equação original é equivalente à equação

Que não tem soluções no intervalo, pois , mas . A equação também não tem soluções no intervalo, pois , , A .

Responder. , , , .

método de simetria

É conveniente usar o método de simetria quando a instrução da tarefa contém o requisito de que a solução de uma equação, desigualdade, sistema etc. seja única. ou uma indicação exata do número de soluções. Neste caso, qualquer simetria das expressões dadas deve ser detectada.

Também é necessário levar em conta a variedade de diferentes tipos possíveis de simetria.

Igualmente importante é a estrita observância dos estágios lógicos no raciocínio com simetria.

Normalmente a simetria permite que você defina apenas as condições necessárias, e então é necessário verificar sua suficiência.

Exemplo Encontre todos os valores do parâmetro para os quais a equação tem uma solução única.

Solução. Observe que e são funções pares, então o lado esquerdo da equação é uma função par.

Então se --- solução equações, que também é a solução da equação. Se é a única solução da equação, então necessário , .

vamos selecionar possível valores, exigindo que seja a raiz da equação.

Notamos imediatamente que outros valores não podem satisfazer a condição do problema.

Mas ainda não se sabe se todos os selecionados realmente satisfazem a condição do problema.

Adequação.

1) , a equação terá a forma .

2) , a equação terá a forma:

Obviamente, para todos e . Portanto, a última equação é equivalente ao sistema:

Assim, provamos que para , a equação tem solução única.

Responder. .

Solução com exploração de função

Exemplo Prove que todas as soluções da equação

Números inteiros.

Solução. O período principal da equação original é . Portanto, primeiro estudamos essa equação no segmento .

Vamos transformar a equação para a forma:

Com a ajuda de uma calculadora, obtemos:

Se , então das igualdades anteriores obtemos:

Resolvendo a equação resultante, obtemos: .

Os cálculos realizados fornecem uma oportunidade para assumir que as raízes da equação pertencente ao intervalo são , e .

A verificação direta confirma esta hipótese. Assim, fica provado que as raízes da equação são apenas números inteiros , .

Exemplo Resolva a equação .

Solução. Encontre o período principal da equação. O período principal da função é . O período principal da função é . O mínimo múltiplo comum dos números e é igual a . Portanto, o período principal da equação é . Deixar .

Obviamente, é uma solução para a equação. No intervalo. A função é negativa. Portanto, outras raízes da equação devem ser buscadas apenas nos intervalos x e .

Com a ajuda de um microcalculador, primeiro encontramos os valores aproximados das raízes da equação. Para fazer isso, compilamos uma tabela de valores de função em intervalos e ; ou seja, nos intervalos e .

As seguintes hipóteses são facilmente observadas na tabela: as raízes da equação pertencente ao segmento são números: ; ; . A verificação direta confirma esta hipótese.

Responder. ; ; .

Resolvendo desigualdades trigonométricas usando o círculo unitário

Ao resolver desigualdades trigonométricas da forma , onde é uma das funções trigonométricas, é conveniente usar um círculo trigonométrico para apresentar com mais clareza a solução da desigualdade e anotar a resposta. O principal método para resolver desigualdades trigonométricas é reduzi-las às desigualdades mais simples do tipo . Vejamos um exemplo de como resolver tais desigualdades.

Exemplo Resolva a desigualdade.

Solução. Vamos desenhar um círculo trigonométrico e marcar nele os pontos para os quais a ordenada é maior que .

Para a solução desta desigualdade será . Também é claro que se algum número diferir de algum número do intervalo indicado por , também não será menor que . Portanto, nas extremidades do segmento encontrado da solução, basta adicionar . Finalmente, obtemos que as soluções da desigualdade original serão todas .

Responder. .

Para resolver desigualdades com tangente e cotangente, o conceito de linha de tangentes e cotangentes é útil. Estas são as linhas e, respectivamente (na figura (1) e (2)), tocando o círculo trigonométrico.

É fácil ver que se você construir um raio com origem na origem, fazendo um ângulo com o sentido positivo do eixo das abcissas, então o comprimento do segmento do ponto ao ponto de interseção desse raio com a linha das tangentes é exatamente igual à tangente do ângulo que esse raio faz com o eixo das abcissas. Uma observação semelhante vale para a cotangente.

Exemplo Resolva a desigualdade.

Solução. Denote , então a desigualdade assumirá a forma da mais simples: . Considere um intervalo com comprimento igual ao período menos positivo (LPP) da tangente. Neste segmento, usando a linha de tangentes, estabelecemos que . Agora lembramos o que precisa ser adicionado, pois o RPE da função . Então, . Voltando à variável, obtemos isso.

Responder. .

É conveniente resolver desigualdades com funções trigonométricas inversas usando gráficos de funções trigonométricas inversas. Vamos mostrar como isso é feito com um exemplo.

Resolvendo desigualdades trigonométricas por um método gráfico

Observe que se --- é uma função periódica, então para resolver a inequação é necessário encontrar suas soluções em um segmento cujo comprimento seja igual ao período da função . Todas as soluções da desigualdade original consistirão nos valores encontrados, bem como todos os que diferem dos encontrados por qualquer número inteiro de períodos da função.

Considere a solução da desigualdade ().

Desde , então a desigualdade não tem soluções para . Se , então o conjunto de soluções para a inequação é o conjunto de todos os números reais.

Deixar . A função seno tem o menor período positivo, então a desigualdade pode ser resolvida primeiro em um segmento de comprimento , por exemplo, em um segmento. Construímos gráficos de funções e (). são dadas por desigualdades da forma: e, de onde,

Neste artigo, foram considerados métodos para resolver equações e inequações trigonométricas, tanto as mais simples quanto as olímpicas. Os principais métodos de resolução de equações e inequações trigonométricas foram considerados, além disso, como --- característica somente para equações e inequações trigonométricas, --- e métodos funcionais gerais para resolver equações e inequações, conforme aplicado a equações trigonométricas.

A tese fornece informações teóricas básicas: a definição e propriedades das funções trigonométricas e trigonométricas inversas; expressão de funções trigonométricas em termos de outras funções trigonométricas, o que é muito importante para a conversão de expressões trigonométricas, especialmente aquelas que contêm funções trigonométricas inversas; além das fórmulas trigonométricas básicas, bem conhecidas do curso escolar, são dadas fórmulas que simplificam expressões contendo funções trigonométricas inversas. A solução de equações trigonométricas elementares, o método de fatoração, métodos de redução de equações trigonométricas a equações algébricas são considerados. Tendo em vista que as soluções de equações trigonométricas podem ser escritas de várias maneiras, e a forma dessas soluções não permite determinar imediatamente se essas soluções são iguais ou diferentes, um esquema geral para resolver equações trigonométricas é considerado e a transformação de grupos de soluções gerais de equações trigonométricas é considerada em detalhes. Métodos para resolver desigualdades trigonométricas elementares, tanto em um círculo unitário quanto por um método gráfico, são considerados em detalhes. Descreve-se o processo de resolução de inequações trigonométricas não elementares por meio de inequações elementares e o método dos intervalos já bem conhecido dos escolares. As soluções de tarefas típicas para a seleção de raízes são dadas. São fornecidas as informações teóricas necessárias para a seleção de raízes: a partição do conjunto de números inteiros em subconjuntos sem interseção, a solução de equações em números inteiros (diofantino).

Os resultados deste trabalho de tese podem ser usados ​​como material didático na preparação de trabalhos de curso e teses, na preparação de eletivas para escolares, o mesmo trabalho pode ser usado na preparação de alunos para vestibulares e testes centralizados.

Vygodsky Ya.Ya., Manual de matemática elementar. /Vygodsky Ya.Ya. --- M.: Nauka, 1970.

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