Kako konstruisati jednakokraki trougao. Tupokutni trokut: dužina stranica, zbir uglova

Više djece predškolskog uzrasta znate kako izgleda trougao. Ali djeca već počinju shvaćati kakvi su u školi. Jedna vrsta je tupokutni trokut. Najlakši način da shvatite šta je to je da vidite njegovu sliku. A u teoriji ovo je ono što oni nazivaju „najjednostavnijim poligonom“ sa tri strane i vrhovima, od kojih je jedan

Razumijevanje koncepata

U geometriji postoje ove vrste figura sa tri strane: oštar, pravi i tupokutni trokut. Štaviše, svojstva ovih najjednostavnijih poligona su ista za sve. Dakle, za sve navedene vrste će se uočiti ova nejednakost. Zbir dužina bilo koje dvije strane će nužno biti veći od dužine treće strane.

Ali da bismo bili sigurni da govorimo o kompletnoj figuri, a ne o skupu pojedinačnih vrhova, potrebno je provjeriti da li je ispunjen glavni uvjet: zbir uglova tupouglog trokuta jednak je 180 stepeni . Isto važi i za druge vrste figura sa tri strane. Istina, u tupouglu će jedan od uglova biti čak i veći od 90°, a preostala dva će svakako biti oštra. U ovom slučaju, to je najveći ugao koji će biti nasuprot najdužoj strani. Istina, ovo nisu sva svojstva tupouglog trougla. Ali čak i znajući samo ove karakteristike, školarci mogu riješiti mnoge probleme u geometriji.

Za svaki poligon sa tri vrha, takođe je tačno da nastavljanjem bilo koje stranice dobijamo ugao čija će veličina biti jednaka zbiru dva nesusedna unutrašnja vrha. Opseg tupouglog trougla izračunava se na isti način kao i za druge oblike. Jednaka je zbiru dužina svih njegovih stranica. Da bi to utvrdili, matematičari su razvili različite formule, ovisno o tome koji su podaci inicijalno prisutni.

Ispravan stil

Jedan od najvažnijim uslovima rješavanje problema iz geometrije je ispravan crtež. Nastavnici matematike često kažu da će to pomoći ne samo da vizualizujete šta vam je dato i šta se od vas traži, već da se 80% približite tačnom odgovoru. Zbog toga je važno znati kako se konstruiše tupougao trokut. Ako vam je potrebna samo hipotetička figura, onda možete nacrtati bilo koji poligon sa tri strane tako da jedan od uglova bude veći od 90 stepeni.

Ako su date određene vrijednosti duljina stranica ili stupnjeva uglova, tada je potrebno nacrtati tupokutni trokut u skladu s njima. U ovom slučaju potrebno je pokušati što preciznije prikazati uglove, računajući ih pomoću kutomjera, a stranice prikazati proporcionalno uvjetima datim u zadatku.

Glavne linije

Često nije dovoljno da školarci znaju samo kako bi određene figure trebale izgledati. Ne mogu se ograničiti na informacije samo o tome koji je trokut tupougao, a koji pravi. Predmet matematike zahtijeva da njihovo poznavanje osnovnih karakteristika figura bude potpunije.

Dakle, svaki školarac bi trebao razumjeti definiciju simetrale, medijane, okomite simetrale i visine. Osim toga, mora poznavati njihova osnovna svojstva.

Dakle, simetrale dijele ugao na pola, a suprotnu stranu na segmente koji su proporcionalni susjednim stranicama.

Medijan dijeli bilo koji trokut na dva jednaka po površini. U tački u kojoj se ukrštaju, svaki od njih je podijeljen na 2 segmenta u omjeru 2:1, gledano sa vrha iz kojeg je izašao. U ovom slučaju, velika medijana je uvijek povučena na svoju najmanju stranu.

Ništa manje pažnje se ne poklanja visini. Ovo je okomito na stranu suprotnu uglu. Visina tupougla ima svoje karakteristike. Ako je nacrtan iz oštrog vrha, onda ne završava na strani ovog najjednostavnijeg poligona, već na njegovom nastavku.

Okomita simetrala je segment koji se proteže od centra lica trougla. Štaviše, nalazi se pod pravim uglom u odnosu na njega.

Rad sa krugovima

Na početku proučavanja geometrije dovoljno je da djeca shvate kako nacrtati tupokutni trokut, naučiti ga razlikovati od drugih vrsta i zapamtiti njegova osnovna svojstva. Ali srednjoškolcima ovo znanje više nije dovoljno. Na primjer, na Jedinstvenom državnom ispitu često se postavljaju pitanja o opisanim i upisanim krugovima. Prvi od njih dodiruje sva tri vrha trougla, a drugi ima jednu zajedničku tačku sa svim stranama.

Konstruiranje upisanog ili opisanog tupougla je mnogo teže, jer da biste to učinili prvo morate saznati gdje bi trebao biti centar kruga i njegov polumjer. Usput, u ovom slučaju, ne samo olovka s ravnalom, već i kompas će postati neophodan alat.

Iste poteškoće nastaju i kod konstruisanja upisanih poligona sa tri strane. Matematičari su razvili različite formule koje im omogućavaju da što preciznije odrede svoju lokaciju.

Upisani trouglovi

Kao što je ranije rečeno, ako kružnica prolazi kroz sva tri vrha, onda se zove opisana kružnica. Njegovo glavno svojstvo je da je jedinstven. Da biste saznali kako bi trebao biti lociran opisan krug tupouglog trokuta, morate zapamtiti da je njegovo središte na presjeku tri bisektoralne okomice koje idu na strane figure. Ako će se u poligonu sa oštrim uglom sa tri vrha ova tačka nalaziti unutar njega, onda će u poligonu sa tupouglom biti izvan njega.

Znajući, na primjer, da je jedna od stranica tupougla trokuta jednaka njegovom polumjeru, možete pronaći ugao koji leži nasuprot poznatog lica. Njegov sinus će biti jednak rezultatu dijeljenja dužine poznate stranice sa 2R (gdje je R polumjer kružnice). To jest, grijeh ugla će biti jednak ½. To znači da će ugao biti jednak 150°.

Ako trebate pronaći radijus kružnice tupouglog trokuta, tada će vam trebati informacije o dužini njegovih stranica (c, v, b) i njegovoj površini S. Uostalom, polumjer se izračunava ovako: (c x v x b) : 4 x S. Uzgred, nije bitno kakvu figuru imate: skalirani tupougli trougao, jednakokraki, pravougli ili oštrougli. U svakoj situaciji, zahvaljujući gornjoj formuli, možete saznati površinu danog poligona s tri strane.

Opisani trouglovi

Često morate raditi i sa upisanim krugovima. Prema jednoj formuli, polumjer takve figure, pomnožen sa ½ perimetra, bit će jednak površini trokuta. Istina, da biste to shvatili morate znati stranice tupougla. Uostalom, da biste odredili ½ perimetra, trebate zbrojiti njihove dužine i podijeliti sa 2.

Da bismo razumjeli gdje bi trebao biti centar kružnice upisane u tupokutni trokut, potrebno je nacrtati tri simetrale. Ovo su linije koje sijeku uglove. Na njihovom presjeku će se nalaziti centar kruga. U ovom slučaju, ona će biti jednako udaljena sa svake strane.

Poluprečnik takve kružnice upisane u tupokutni trokut jednak je količniku (p-c) x (p-v) x (p-b): p. U ovom slučaju, p je poluperimetar trougla, c, v, b su njegove stranice.

Kako nacrtati trougao?

Konstrukcija raznih trouglova - potreban element školski kurs geometrija. Kod mnogih ovaj zadatak izaziva strah. Ali u stvari, sve je prilično jednostavno. Sljedeći članak opisuje kako nacrtati bilo koju vrstu trokuta pomoću kompasa i ravnala.

Postoje trouglovi

• svestran;
• jednakokraki;
• equilateral;
• pravokutni;
• tupokutni;
• akutni ugao;
• upisan u krug;
• opisano oko kruga.

Konstrukcija jednakostraničnog trougla

Jednakostranični trougao je onaj u kojem su sve strane jednake. Od svih vrsta trouglova, jednakostranični trouglovi su najlakši za crtanje.

1. Koristeći ravnalo, nacrtajte jednu od stranica na zadanoj dužini.
2. Izmjerite njegovu dužinu pomoću kompasa.
3. Postavite tačku kompasa na jedan kraj segmenta i nacrtajte krug.
4. Premjestite tačku na drugi kraj segmenta i nacrtajte krug.
5. Dobili smo 2 tačke preseka kružnica. Povezivanjem bilo kojeg od njih s rubovima segmenta, dobivamo jednakostranični trokut.

Konstrukcija jednakokračnog trougla

Ova vrsta trokuta može se konstruisati koristeći bazu i stranice.

Jednakokraki trougao je onaj u kojem su dvije stranice jednake. Da biste nacrtali jednakokraki trokut koristeći ove parametre, morate izvršiti sljedeće korake:

1. Koristeći ravnalo, označite segment jednak dužini bazi. Označavamo ga slovima AC.
2. Pomoću kompasa izmjerite potrebnu dužinu stranice.
3. Iz tačke A, a zatim iz tačke C crtamo kružnice čiji je poluprečnik jednak dužini stranice.
4. Dobijamo dve tačke preseka. Spajanjem jednog od njih sa tačkama A i C dobijamo traženi trougao.

Konstruisanje pravouglog trougla

Trokut sa jednim pravim uglom naziva se pravougli trokut. Ako nam je data kateta i hipotenuza, crtanje pravokutnog trokuta nije teško. Može se konstruirati pomoću noge i hipotenuze.

Konstruiranje tupougla trokuta koristeći ugao i dvije susjedne stranice

Ako je jedan od uglova trougla tup (više od 90 stepeni), naziva se tup. Da biste nacrtali tupokutni trokut koristeći navedene parametre, morate učiniti sljedeće:

1. Koristeći ravnalo, označite segment jednak dužini jednoj od stranica trougla. Označimo ga slovima A i D.
2. Ako je ugao već nacrtan u zadatku, a trebate nacrtati isti, onda na njegovu sliku stavite dva segmenta, čija oba kraja leže na vrhu kuta, a dužina je jednaka naznačenim stranicama. Povežite rezultirajuće tačke. Imamo željeni trougao.
3. Da biste ga prenijeli na svoj crtež, morate izmjeriti dužinu treće strane.

Konstrukcija oštrog trougla

Oštar trougao (svi uglovi manji od 90 stepeni) se konstruiše po istom principu.

1. Nacrtajte dva kruga. Središte jedne od njih leži u tački D, a poluprečnik je jednak dužini treće strane, a centar druge je u tački A, a poluprečnik je jednak dužini stranice naznačene u zadatku .
2. Spojite jednu od tačaka preseka kružnice sa tačkama A i D. Konstruisan je traženi trougao.

Upisani trougao

Da biste nacrtali trokut u krugu, morate zapamtiti teoremu, koja kaže da središte opisane kružnice leži na presjeku simetrala okomite:

Za tupokutni trokut centar opisane kružnice nalazi se izvan trougla, dok za pravokutni trokut leži u sredini hipotenuze.

Nacrtajte opisani trougao

Opisani trougao je trougao u čijem središtu je ucrtan krug koji dodiruje sve njegove strane. Središte upisane kružnice nalazi se na sjecištu simetrala. Da biste ih izgradili potrebno vam je:

Uputstva

Postavite iglu kompasa na označenu tačku. Koristeći nogu sa olovkom, nacrtajte luk kruga s izmjerenim polumjerom.

Postavite tačku bilo gdje duž obima nacrtanog luka. Ovo će biti drugi vrh B trougla koji se kreira.

Stavite nogu na drugi vrh na sličan način. Nacrtajte drugi krug tako da siječe prvi.

Treći vrh C kreiranog trougla nalazi se na presjeku oba nacrtana luka. Označite na slici.

Nakon što ste dobili sva tri vrha, povežite ih ravnim linijama koristeći bilo koju ravnu površinu (po mogućnosti ravnalo). Konstruisan je trougao ABC.

Ako krug dodiruje sve tri strane datog trougla i njegovo središte je unutar trougla, onda se naziva upisanim u trokut.

Trebaće ti

• lenjir, kompas

Uputstva

Iz vrhova trokuta (strana nasuprot kuta koji se dijeli) šestarom se povlače kružni lukovi proizvoljnog polumjera dok se ne sijeku;

Tačka presjeka lukova duž ravnala povezana je s vrhom djeljivog ugla;

Isto se radi sa bilo kojim drugim uglom;

Radijus kružnice upisane u trokut bit će omjer površine trokuta i njegovog poluperimetra: r=S/p, gdje je S površina trokuta, a p=(a+ b+c)/2 je poluperimetar trougla.

Polumjer kružnice upisane u trokut jednako je udaljen od svih strana trougla.

Izvori:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Razmotrimo problem konstruisanja trougla, pod uslovom da su poznate njegove tri stranice ili jedna stranica i dva ugla.

Trebaće ti

• - kompas
• - vladar
• - kutomjer

Uputstva

Recimo da postoje tri strane: a, b i c. Sa takvim stranama nije teško koristiti. Prvo, izaberimo najdužu od ovih stranica, neka to bude strana c, i nacrtajmo je. Zatim otvor šestara postavimo na vrijednost druge strane, strane a, i šestarom nacrtamo krug poluprečnika a sa centrom na jednom od krajeva stranice c. Sada postavite otvor kompasa na veličinu stranice b i nacrtajte krug sa centrom na drugom kraju stranice c. Poluprečnik ove kružnice je b. Spojimo točku presjeka kružnica sa centrima i dobijemo trokut sa traženim stranicama.

Da nacrtate trokut sa zadatom stranom i dva susjedna ugla, koristite kutomjer. Nacrtajte stranu određene dužine. Na njegovim rubovima označite kutove kutomjerom. Na presjeku stranica uglova dobiti treći vrh trokuta.

Video na temu

Imajte na umu

Za stranice trougla vrijedi sljedeća tvrdnja: zbir dužina bilo koje dvije stranice mora biti veći od treće. Ako ovo nije ispunjeno, onda je nemoguće konstruirati takav trokut.

Krugovi u koraku 1 seku se u dvije tačke. Možete odabrati bilo koji, trouglovi će biti jednaki.

Pravilan trougao je onaj u kojem su sve stranice iste dužine. Na osnovu ove definicije, izgradnja ovog tipa trougla nije težak zadatak.

Trebaće ti

• Lenjir, list obloženog papira, olovka

Uputstva

Pomoću ravnala spojite tačke označene na papiru redom, jednu za drugom, kao što je prikazano na slici 2.

Imajte na umu

U pravilnom (jednakostraničnom) trouglu svi uglovi su jednaki 60 stepeni.

Koristan savjet

Jednakostranični trougao je takođe jednakokraki trougao. Ako je trokut jednakokračan, to znači da su 2 od njegove 3 strane jednake, a treća strana se smatra bazom. Svaki pravilan trougao je jednakokračan, dok obrnuto nije tačno.

Svaki jednakostranični trougao ima iste ne samo stranice, već i uglove, od kojih je svaki jednak 60 stepeni. Međutim, crtež takvog trokuta, napravljen pomoću kutomjera, neće biti vrlo precizan. Stoga je za konstruiranje ove figure bolje koristiti kompas.

Trebaće ti

• Olovka, ravnalo, šestar

Uputstva

Zatim uzmite kompas, postavite ga na krajeve (budući vrh trokuta) i nacrtajte krug s polumjerom jednakim dužini ovog segmenta. Ne možete nacrtati cijeli krug, već nacrtajte samo njegovu četvrtinu, sa suprotne ivice segmenta.

Sada pomaknite kompas na drugi kraj segmenta i ponovo nacrtajte krug istog radijusa. Ovdje će biti dovoljno konstruirati kružnicu koja prolazi od krajnjeg kraja segmenta do sjecišta s već izgrađenim lukom. Rezultirajuća tačka će biti treći vrh vašeg trougla.

Da biste dovršili konstrukciju, ponovo uzmite ravnalo i olovku i spojite točku presjeka dvaju krugova s ​​oba kraja segmenta. Dobit ćete trokut sa sve tri strane apsolutno jednake - to se lako može provjeriti ravnalom.

Video na temu

Trougao je mnogougao koji ima tri strane. Jednakostranični ili pravilan trokut je trokut u kojem su sve stranice i uglovi jednaki. Pogledajmo kako nacrtati pravilan trougao.

Trebaće ti

• Lenjir, kompas.

Uputstva

Koristeći šestar, nacrtajte još jedan krug čiji će centar biti u tački B, a polumjer će biti jednak segmentu BA.

Krugovi će se ukrštati u dvije tačke. Odaberite bilo koju od njih. Nazovite ga C. Ovo će biti treći vrh trougla.

Povežite vrhove zajedno. Dobijeni trokut će biti ispravan. Uvjerite se u to mjerenjem njegovih stranica ravnalom.

Razmotrimo način da konstruišemo pravilan trougao koristeći dva ravnala. Nacrtajte segment OK, to će biti jedna od stranica trougla, a tačke O i K će biti njegovi vrhovi.

Bez pomeranja ravnala nakon konstruisanja segmenta OK, pričvrstite drugo ravnalo okomito na njega. Nacrtajte pravu liniju m koja siječe segment OK u sredini.

Pomoću ravnala izmjerite odsječak OE jednak segmentu OK tako da se jedan kraj poklapa sa tačkom O, a drugi na pravoj m. Tačka E će biti treći vrh trougla.

Završite konstrukciju trougla spajanjem tačaka E i K. Provjerite ispravnost konstrukcije pomoću ravnala.

Imajte na umu

Možete se uvjeriti da je trokut pravilan koristeći kutomjer mjerenjem uglova.

Koristan savjet

Jednakostranični trokut se također može nacrtati na kariranom listu papira pomoću jednog ravnala. Umjesto korištenja drugog ravnala, koristite okomite linije.

Izvori:

• Klasifikacija trouglova. Jednakostranični trouglovi
• Šta je trougao
• konstruisanje pravilnog trougla

Upisani trougao je onaj čiji su vrhovi svi na kružnici. Možete ga izgraditi ako znate barem jednu stranu i ugao. Opisani krug se zove opisani krug i on će biti jedini za ovaj trougao.

Trebaće ti

• - krug;
• - stranica i ugao trougla;
• - list papira;
• - kompas;
• - vladar;
• - kutomjer;
• - kalkulator.

Uputstva

Iz tačke A koristite kutomjer da nacrtate dati ugao. Nastavite stranu ugla dok se ne ukrsti sa kružnicom i postavite tačku C. Povežite tačke B i C. Imate trougao ABC. Može biti bilo koje vrste. Središte kružnice za oštar trokut je izvan, za tupokutni je izvan, a za pravokutni trokut je na hipotenuzi. Ako vam nije dat ugao, već, na primjer, tri strane trokuta, izračunajte jedan od uglova iz radijusa i poznate stranice.

Mnogo češće se morate baviti obrnutom konstrukcijom, kada vam je dat trokut i trebate opisati krug oko njega. Izračunajte njegov polumjer. To se može učiniti pomoću nekoliko formula, ovisno o tome što vam je dato. Radijus se može naći, na primjer, po strani i sinusu suprotnog ugla. U ovom slučaju, jednaka je dužini stranice podijeljenoj sa dvostrukim sinusom suprotnog ugla. To jest, R=a/2sinCAB. Može se izraziti i kroz proizvod stranica, u ovom slučaju R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

Odredite centar kruga. Podijelite sve strane na pola i povucite okomite na sredine. Tačka njihovog presjeka bit će centar kružnice. Nacrtajte ga tako da siječe sve vrhove uglova.

Dvije kratke stranice pravokutnog trougla, koje se obično nazivaju katetama, po definiciji moraju biti okomite jedna na drugu. Ovo svojstvo figure uvelike olakšava njegovu konstrukciju. Međutim, nije uvijek moguće precizno odrediti okomitost. U takvim slučajevima možete izračunati dužine svih strana - one će vam omogućiti da konstruirate trokut na jedini mogući, a samim tim i ispravan način.

Trebaće ti

• Papir, olovka, ravnalo, kutomjer, šestar, kvadrat.

Kako konstruisati jednakokraki trougao? To je lako učiniti pomoću ravnala, olovke i ćelija za bilježnicu.

Počinjemo konstrukciju jednakokračnog trokuta od baze. Da bi uzorak bio paran, broj ćelija u bazi mora biti paran broj.

Podijelite segment - osnovu trokuta - na pola.

Tem trougla se može izabrati na bilo kojoj visini od osnove, ali uvek tačno iznad sredine.

Kako konstruisati akutni jednakokraki trougao?

Uglovi u osnovi jednakokračnog trougla mogu biti samo oštri. Da bi jednakokraki trougao bio oštar, ugao na vrhu takođe mora biti oštar.

Da biste to učinili, odaberite vrh trokuta više, dalje od baze.

Što je veći apeks, manji je ugao vrha. Shodno tome se povećavaju uglovi na bazi.

Kako konstruisati tupokraki trougao?

Kako se vrh jednakokračnog trougla približava osnovici, stepen stepena ugla u vrhu raste.

To znači da za konstruiranje jednakokračnog tupougla biramo donji vrh.

Kako konstruisati jednakokraki pravougaoni trougao?

Da biste konstruirali jednakokraki pravokutni trokut, trebate odabrati vrh na udaljenosti jednakoj polovini baze (to je zbog svojstava jednakokračnog pravokutnog trokuta).

Na primjer, ako je dužina baze 6 ćelija, tada postavljamo vrh trokuta na visinu od 3 ćelije iznad sredine baze. Imajte na umu: u ovom slučaju, svaka ćelija na uglovima na bazi je podijeljena dijagonalno.

Konstrukcija jednakokračnog pravokutnog trougla može se započeti od vrha.

Odaberemo vrh i od njega pod pravim uglom položimo jednake segmente gore i desno. Ovo su stranice trougla.

Povežimo ih i dobijemo jednakokraki pravougaoni trokut.

Razmotrit ćemo konstrukciju jednakokračnog trokuta koristeći šestar i ravnalo bez podjela u drugoj temi.