Dom-Izgradnja-Cijeli brojevi. Negativni brojevi

Cijeli brojevi. Negativni brojevi

Postoji mnogo vrsta brojeva, a jedan od njih su cijeli brojevi. Pojavili su se cijeli brojevi kako bi se olakšalo brojanje ne samo u pozitivnom, već iu negativnom smjeru.

Pogledajmo primjer:
Tokom dana temperatura napolju iznosila je 3 stepena. Do večeri temperatura je pala za 3 stepena.
3-3=0
Napolju je postalo 0 stepeni. A noću je temperatura pala za 4 stepena i termometar je počeo da pokazuje -4 stepena.
0-4=-4

Niz cijelih brojeva.

Takav problem ne možemo opisati prirodnim brojevima, ovaj problem ćemo razmotriti na koordinatnoj liniji.

Dobili smo niz brojeva:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Ova serija brojeva se zove niz cijelih brojeva.

Pozitivni cijeli brojevi. Negativni cijeli brojevi.

Niz cijelih brojeva sastoji se od pozitivnih i negativnih brojeva. Desno od nule su prirodni brojevi, ili se oni takođe nazivaju pozitivni cijeli brojevi. I oni idu lijevo od nule negativni cijeli brojevi.

Nula nije ni pozitivan ni negativan broj. To je granica između pozitivnih i negativnih brojeva.

je skup brojeva koji se sastoji od prirodnih brojeva, negativnih cijelih brojeva i nule.

Niz cijelih brojeva u pozitivnom i negativnom smjeru je beskonačan broj.

Ako uzmemo bilo koja dva cijela broja, tada će biti pozvani brojevi između ovih cijelih brojeva konačan skup.

na primjer:
Uzmimo cijele brojeve od -2 do 4. Svi brojevi između ovih brojeva su uključeni u konačni skup. Naš konačni skup brojeva izgleda ovako:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Prirodni brojevi se označavaju latiničnim slovom N.
Cijeli brojevi su označeni latiničnim slovom Z. Cijeli skup prirodnih brojeva i cijelih brojeva može se prikazati na slici.


Nepozitivni cijeli brojevi drugim riječima, oni su negativni cijeli brojevi.
Nenegativni cijeli brojevi su pozitivni cijeli brojevi.

Negativni brojevi se nalaze lijevo od nule. Za njih, kao i za pozitivne brojeve, definiran je odnos reda, koji omogućava upoređivanje jednog cijelog broja s drugim.

Za svaki prirodan broj n postoji jedan i samo jedan negativan broj, označen -n, koji dopunjuje n na nulu: n + (− n) = 0 . Oba broja se pozivaju suprotno jedno za drugo. Oduzimanje cijelog broja a je ekvivalentno dodavanju sa njegovom suprotnošću: -a.

Svojstva negativnih brojeva

Negativni brojevi slijede gotovo ista pravila kao prirodni brojevi, ali imaju neke posebne karakteristike.

Istorijska skica

Književnost

  • Vygodsky M. Ya. Priručnik za osnovnu matematiku. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
  • Glazer G.I. Istorija matematike u školi. - M.: Prosveta, 1964. - 376 str.

Linkovi

Wikimedia Foundation.

  • 2010.
  • Negativni reljef

Negativna i pozitivna nula

    Pogledajte šta su "Negativni brojevi" u drugim rječnicima: Negativni brojevi - realni brojevi manji od nule, na primjer 2; 0,5; π, itd. Vidi broj...

    Velika sovjetska enciklopedija Pozitivni i negativni brojevi - (vrijednosti). Rezultat uzastopnih sabiranja ili oduzimanja ne ovisi o redoslijedu kojim se te radnje izvode. Npr. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Ovdje nisu preuređeni samo brojevi 2 i 5, već i predznaci ispred ovih brojeva. Dogovoreno......

    Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron brojevi su negativni - Brojevi u računovodstvu koji su ispisani crvenom olovkom ili crvenim mastilom.

    Teme: računovodstvo... Vodič za tehnički prevodilac NEGATIVNI BROJEVI

    - brojevi u računovodstvu koji su ispisani crvenom olovkom ili crvenim mastilom... Odličan računovodstveni rječnik

    Integers- Skup cijelih brojeva je definiran kao zatvaranje skupa prirodnih brojeva s obzirom na aritmetičke operacije sabiranja (+) i oduzimanja (). Dakle, zbir, razlika i proizvod dva cijela broja su opet cijeli brojevi. Sastoji se od... ... Wikipedije

    Prirodni brojevi- brojevi koji nastaju prirodno pri brojanju (i u smislu nabrajanja i u smislu računa). Postoje dva pristupa određivanju prirodnih brojeva koji se koriste u: popisivanju (numeraciji) objekata (prvi, drugi, ... ... Wikipedia; EULER BROJEVI

    - koeficijenti E n u ekspanziji Rekurentna formula za E. brojeve ima oblik (u simboličkom zapisu, (E + 1)n + (E 1)n=0, E0 =1. U ovom slučaju, E 2n+1= 0, E4n su pozitivni, E4n+2 negativni cijeli brojevi za sve n=0, 1, .; Mathematical Encyclopedia

    Negativan broj- Negativan broj je element skupa negativnih brojeva, koji se (zajedno sa nulom) pojavio u matematici prilikom proširenja skupa prirodnih brojeva. Svrha proširenja je da omogući da se operacija oduzimanja izvrši na bilo kojem broju. Kao rezultat... ... Wikipedia

    Istorija aritmetike- Aritmetika. Slikarstvo Pinturicchio. Apartman Borgia. 1492 1495. Rim, Vatikanske palate ... Wikipedia

Aritmetika

  • Set stolova. Matematika. 6. razred. 12 tabela + metodologija, . Tablice su štampane na debelom štampanom kartonu dimenzija 680 x 980 mm. Komplet uključuje brošuru sa smjernicama za nastavu za nastavnike. Edukativni album od 12 listova. Deljivost... Kupite za 3063 RUR
  • Matematika. 6. razred. Radna sveska. Pozitivni i negativni brojevi, . Radna sveska za 6. razred je dio nastavnog materijala iz matematike za osnovnu školu (5-9 razred), kreirana u okviru projekta „Matematika” uz udžbenike, edukativne…

Prilikom rješavanja jednačina i nejednačina, kao i zadataka s modulima, potrebno je da nađene korijene postavite na brojevnu pravu. Kao što znate, pronađeni korijeni mogu biti različiti. Mogu biti ovako: , ili mogu biti ovako: , .

Shodno tome, ako brojevi nisu racionalni već iracionalni (ako ste zaboravili šta su, pogledajte u temi), ili su složeni matematički izrazi, onda je njihovo postavljanje na brojevnu pravu vrlo problematično. Štaviše, ne možete koristiti kalkulatore tokom ispita, a približne kalkulacije ne daju 100% garancije da je jedan broj manji od drugog (šta ako postoji razlika između brojeva koji se porede?).

Naravno, znate da su pozitivni brojevi uvijek veći od negativnih, i da ako zamislimo brojevnu osu, tada će prilikom poređenja najveći brojevi biti desno od najmanjih: ; ; itd.

Ali da li je uvek sve tako lako? Gdje na brojevnoj liniji označavamo, .

Kako se mogu porediti, na primjer, s brojem? Ovo je problem...)

Prvo, hajde da razgovaramo uopšteno o tome kako i šta uporediti.

Važno: preporučljivo je napraviti transformacije tako da se znak nejednakosti ne mijenja! Odnosno, tokom transformacija je nepoželjno množiti negativnim brojem, i zabranjeno je kvadrat ako je jedan od dijelova negativan.

Poređenje razlomaka

Dakle, moramo uporediti dva razlomka: i.

Postoji nekoliko opcija kako to učiniti.

Opcija 1. Smanjite razlomke na zajednički imenilac.

Zapišimo to u obliku običnog razlomka:

- (kao što vidite, smanjio sam i brojilac i imenilac).

Sada treba da uporedimo razlomke:

Sada možemo nastaviti porediti na dva načina. možemo:

  1. samo dovedite sve do zajedničkog nazivnika, predstavljajući oba razlomka kao nepravilna (brojilac je veći od nazivnika):

    Koji je broj veći? Tako je, onaj sa većim brojicom, odnosno prvi.

  2. "odbacimo" (uzmite u obzir da smo od svakog razlomka oduzeli jedan, a odnos razlomaka se, prema tome, nije promijenio) i usporedite razlomke:

    Dovodimo ih i do zajedničkog nazivnika:

    Dobili smo potpuno isti rezultat kao u prethodnom slučaju - prvi broj je veći od drugog:

    Provjerimo i da li smo tačno oduzeli jedan? Izračunajmo razliku u brojiocu u prvom i drugom izračunu:
    1)
    2)

Dakle, pogledali smo kako da uporedimo razlomke, dovodeći ih do zajedničkog nazivnika. Pređimo na drugu metodu - upoređivanje razlomaka, dovođenje do zajedničkog... brojioca.

Opcija 2. Poređenje razlomaka svođenjem na zajednički brojnik.

Da, da. Ovo nije greška u kucanju. Ovu metodu rijetko ko uči u školi, ali je vrlo često vrlo zgodna. Da biste brzo shvatili njegovu suštinu, postaviću vam samo jedno pitanje - "u kojim slučajevima je vrijednost razlomka najveća?" Naravno, reći ćete „kada je brojilac što veći, a imenilac što manji“.

Na primjer, možete definitivno reći da je to istina? Šta ako trebamo uporediti sljedeće razlomke: ? Mislim da ćete i vi odmah ispravno staviti znak, jer su u prvom slučaju podijeljeni na dijelove, a u drugom na cijele, što znači da u drugom slučaju dijelovi ispadaju vrlo mali, pa prema tome: . Kao što vidite, nazivnici su ovde različiti, ali su brojnici isti. Međutim, da biste uporedili ova dva razlomka, ne morate tražiti zajednički nazivnik. Iako... pronađite ga i vidite da li je znak poređenja još uvijek pogrešan?

Ali znak je isti.

Vratimo se našem prvobitnom zadatku - uporedimo i... Uporedićemo i... Svodimo ove razlomke ne na zajednički nazivnik, već na zajednički brojnik. Za to jednostavno brojilac i imenilac pomnožite prvi razlomak sa. dobijamo:

I. Koji je razlomak veći? Tako je, prvi.

Opcija 3: Poređenje razlomaka pomoću oduzimanja.

Kako porediti razlomke pomoću oduzimanja? Da, vrlo jednostavno. Od jednog razlomka oduzimamo drugi. Ako je rezultat pozitivan, tada je prvi razlomak (minuend) veći od drugog (subtrahend), a ako je negativan, onda je obrnuto.

U našem slučaju, pokušajmo oduzeti prvi razlomak od drugog: .

Kao što već razumijete, također pretvaramo u običan razlomak i dobivamo isti rezultat - . Naš izraz ima oblik:

Zatim ćemo i dalje morati pribjeći redukciji na zajednički nazivnik. Pitanje je: na prvi način pretvaranje razlomaka u nepravilne, ili na drugi način, kao da se „uklanja“ jedinica? Inače, ova akcija ima potpuno matematičko opravdanje. pogledajte:

Druga opcija mi se više sviđa, jer množenje u brojniku kada se svede na zajednički imenilac postaje mnogo lakše.

Hajde da to dovedemo do zajedničkog imenioca:

Ovdje je glavna stvar da se ne zbunite oko toga od kojeg broja smo oduzimali i gdje. Pažljivo pogledajte napredak rješenja i nemojte slučajno zbuniti znakove. Od drugog broja smo oduzeli prvi broj i dobili negativan odgovor, pa?.. Tako je, prvi broj je veći od drugog.

Jasno? Pokušajte uporediti razlomke:

Stani, stani. Nemojte žuriti da dovedete do zajedničkog nazivnika ili oduzmete. Pogledajte: možete ga lako pretvoriti u decimalni razlomak. Koliko će to trajati? U redu. Šta je više na kraju?

Ovo je još jedna opcija - poređenje razlomaka pretvaranjem u decimalu.

Opcija 4: Poređenje razlomaka pomoću dijeljenja.

Da, da. I ovo je takođe moguće. Logika je jednostavna: kada veći broj podijelimo manjim, odgovor koji dobijemo je broj veći od jedan, a ako manji broj podijelimo većim, onda odgovor pada u intervalu od do.

Da zapamtite ovo pravilo, uzmite bilo koja dva prosta broja za poređenje, na primjer, i. Znate šta je više? Sada podijelimo po. Naš odgovor je . Prema tome, teorija je tačna. Ako podijelimo sa, ono što dobijemo je manje od jedan, što zauzvrat potvrđuje da je zapravo manje.

Pokušajmo ovo pravilo primijeniti na obične razlomke. uporedimo:

Podijelite prvi razlomak drugim:

Skratimo malo malo.

Dobijeni rezultat je manji, što znači da je dividenda manja od djelitelja, odnosno:

Razmotrili smo sve moguće opcije za poređenje razlomaka. Kako ih vidite 5:

  • svođenje na zajednički imenilac;
  • svođenje na zajednički brojnik;
  • svođenje na oblik decimalnog razlomka;
  • oduzimanje;
  • divizije.

Spremni za trening? Uporedite razlomke na optimalan način:

Uporedimo odgovore:

  1. (- pretvoriti u decimale)
  2. (podijelite jedan razlomak drugim i smanjite za brojilac i nazivnik)
  3. (odaberite cijeli dio i uporedite razlomke na osnovu principa istog brojila)
  4. (podijelite jedan razlomak drugim i smanjite brojicom i nazivnikom).

2. Poređenje stepena

Sada zamislite da trebamo porediti ne samo brojeve, već i izraze gdje postoji stepen ().

Naravno, lako možete postaviti znak:

Uostalom, ako stepen zamijenimo množenjem, dobićemo:

Iz ovog malog i primitivnog primjera slijedi pravilo:

Sada pokušajte uporediti sljedeće: . Takođe možete jednostavno staviti znak:

Jer ako zamijenimo stepenovanje množenjem...

Općenito, sve razumiješ i uopće nije teško.

Poteškoće nastaju samo kada, kada se porede, stepeni imaju različite osnove i pokazatelje. U ovom slučaju, potrebno je pokušati dovesti do zajedničkog. na primjer:

Naravno, znate da ovaj, shodno tome, izraz poprima oblik:

Hajde da otvorimo zagrade i uporedimo šta smo dobili:

Donekle poseban slučaj je kada je baza stepena () manja od jedan.

Ako, onda od dva stepena i veći je onaj čiji je indeks manji.

Pokušajmo dokazati ovo pravilo. Neka bude.

Hajde da uvedemo neki prirodni broj kao razliku između i.

Logično, zar ne?

A sada još jednom obratimo pažnju na uslov - .

Odnosno: . Dakle, .

na primjer:

Kao što ste shvatili, razmatrali smo slučaj kada su baze snaga jednake. Sada da vidimo kada je baza u intervalu od do, ali su eksponenti jednaki. Ovdje je sve vrlo jednostavno.

Prisjetimo se kako to usporediti koristeći primjer:

Naravno, brzo ste izračunali:

Stoga, kada naiđete na slične probleme radi poređenja, imajte na umu neki jednostavan sličan primjer koji možete brzo izračunati i na osnovu ovog primjera zapisati znakove u složeniji.

Prilikom izvođenja transformacija, zapamtite da ako množite, dodajete, oduzimate ili dijelite, tada se sve radnje moraju obaviti i s lijevom i desnom stranom (ako množite s, onda morate pomnožiti oba).

Osim toga, postoje slučajevi kada je jednostavno neisplativo raditi bilo kakve manipulacije. Na primjer, trebate uporediti. U ovom slučaju nije tako teško podići na potenciju i urediti znak na osnovu ovoga:

Hajde da vežbamo. Uporedite stepene:

Spremni za poređenje odgovora? Evo šta sam dobio:

  1. - isto kao
  2. - isto kao
  3. - isto kao
  4. - isto kao

3. Poređenje brojeva s korijenima

Prvo, prisjetimo se šta su korijeni? Sjećate li se ovog snimka?

Korijen potencije realnog broja je broj za koji vrijedi jednakost.

Roots neparnog stepena postoje za negativne i pozitivne brojeve, i čak i korenje- samo za pozitivne.

Vrijednost korijena je često beskonačna decimala, što otežava precizno izračunavanje, pa je važno biti u mogućnosti uporediti korijene.

Ako ste zaboravili šta je i sa čime se jede - . Ako se svega sjećate, naučimo upoređivati ​​korijene korak po korak.

Recimo da treba da uporedimo:

Da biste uporedili ova dva korijena, ne morate raditi nikakve kalkulacije, samo analizirajte sam koncept "korijena". Razumijete li o čemu govorim? Da, o ovome: inače se može napisati kao treći stepen nekog broja, jednako radikalnom izrazu.

Šta više? ili? Naravno, ovo možete uporediti bez ikakvih poteškoća. Što veći broj podignemo na stepen, to će biti veća vrijednost.

Dakle. Hajde da izvedemo pravilo.

Ako su eksponenti korijena isti (u našem slučaju je to), onda je potrebno uporediti radikalne izraze (i) - što je veći radikalni broj, veća je vrijednost korijena s jednakim eksponentima.

Teško za pamćenje? Onda samo zadržite primjer u svojoj glavi i... Šta više?

Eksponenti korijena su isti, jer je korijen kvadratan. Radikalni izraz jednog broja () veći je od drugog (), što znači da je pravilo zaista tačno.

Šta ako su radikalni izrazi isti, ali su stepeni korijena različiti? Na primjer: .

Takođe je sasvim jasno da će se prilikom vađenja korena višeg stepena dobiti manji broj. Uzmimo za primjer:

Označimo vrijednost prvog korijena kao, a drugog - kao, tada:

Lako možete vidjeti da u ovim jednačinama mora biti više, dakle:

Ako su radikalni izrazi isti(u našem slučaju), a eksponenti korijena su različiti(u našem slučaju ovo je i), tada je potrebno uporediti eksponente(i) - što je indikator veći, to je ovaj izraz manji.

Pokušajte uporediti sljedeće korijene:

Hajde da uporedimo rezultate?

Ovo smo uspješno riješili :). Postavlja se još jedno pitanje: šta ako smo svi različiti? I stepen i radikalan izraz? Nije sve tako komplikovano, samo treba da se... “otarasimo” root-a. Da, da. Samo ga se riješi)

Ako imamo različite stupnjeve i radikalne izraze, moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik (pročitati odjeljak o) za eksponente korijena i podići oba izraza na stepen jednak najmanjem zajedničkom višekratniku.

Da smo svi u rečima i rečima. Evo primjera:

  1. Gledamo indikatore korijena - i. Njihov najmanji zajednički višekratnik je .
  2. Podignimo oba izraza na stepen:
  3. Transformirajmo izraz i otvorimo zagrade (više detalja u poglavlju):
  4. Hajde da prebrojimo šta smo uradili i stavimo znak:

4. Poređenje logaritama

Tako smo polako ali sigurno došli do pitanja kako uporediti logaritme. Ako se ne sjećate kakva je ovo životinja, savjetujem vam da prvo pročitate teoriju iz odjeljka. Jeste li ga pročitali? Zatim odgovorite na nekoliko važnih pitanja:

  1. Šta je argument logaritma i koja je njegova baza?
  2. Što određuje da li se funkcija povećava ili smanjuje?

Ako se svega sećate i savršeno ste savladali, hajde da počnemo!

Da biste međusobno uporedili logaritme, morate znati samo 3 tehnike:

  • svođenje na istu osnovu;
  • svođenje na isti argument;
  • poređenje sa trećim brojem.

U početku obratite pažnju na bazu logaritma. Sjećate li se da ako je manje, onda funkcija opada, a ako je više, onda se povećava. Na tome će se zasnivati ​​naše prosudbe.

Razmotrimo poređenje logaritama koji su već svedeni na istu bazu ili argument.

Za početak, pojednostavimo problem: ubacimo upoređene logaritme jednake osnove. onda:

  1. Funkcija, za, raste na intervalu od, što znači, po definiciji, zatim (“direktno poređenje”).
  2. primjer:- razlozi su isti, shodno tome upoređujemo argumente: , dakle:
  3. Funkcija, at, opada na intervalu od, što znači, po definiciji, zatim („obrnuto poređenje”). - baze su iste, u skladu s tim upoređujemo argumente: međutim, predznak logaritma će biti „obrnut“, budući da je funkcija opadajuća: .

Sada razmotrite slučajeve u kojima su razlozi različiti, ali su argumenti isti.

  1. Baza je veća.
    • . U ovom slučaju koristimo „obrnuto poređenje“. Na primjer: - argumenti su isti, i. Uporedimo baze: međutim, predznak logaritama će biti "obrnut":
  2. Osnova a je u procjepu.
    • . U ovom slučaju koristimo „direktno poređenje“. na primjer:
    • . U ovom slučaju koristimo „obrnuto poređenje“. na primjer:

Zapišimo sve u opštoj tabelarnoj formi:

, dok , dok

Shodno tome, kao što ste već shvatili, kada upoređujemo logaritme, moramo dovesti do iste baze, odnosno argumenta. Do iste baze dolazimo koristeći formulu za prelazak s jedne baze na drugu.

Možete i porediti logaritme sa trećim brojem i na osnovu toga izvući zaključak šta je manje, a šta više. Na primjer, razmislite o tome kako uporediti ova dva logaritma?

Mali nagovještaj - za poređenje, puno će vam pomoći logaritam, čiji će argument biti jednak.

Mislio? Hajde da odlučimo zajedno.

Lako možemo uporediti ova dva logaritma sa vama:

Ne znam kako? Vidi gore. Upravo smo ovo riješili. Koji znak će biti? desno:

Slažem se?

Hajde da uporedimo jedno sa drugim:

Trebali biste dobiti sljedeće:

Sada spojite sve naše zaključke u jedan. Je li uspjelo?

5. Poređenje trigonometrijskih izraza.

Šta je sinus, kosinus, tangent, kotangens? Zašto nam je potreban jedinični krug i kako na njemu pronaći vrijednost trigonometrijskih funkcija? Ako ne znate odgovore na ova pitanja, toplo preporučujem da pročitate teoriju na ovu temu. A ako znate, onda vam upoređivanje trigonometrijskih izraza nije teško!

Osvježimo malo pamćenje. Nacrtajmo jedinični trigonometrijski krug i trokut upisan u njega. Jeste li uspjeli? Sada označite na kojoj strani crtamo kosinus, a na kojoj sinus, koristeći stranice trokuta. (naravno, zapamtite da je sinus omjer suprotne strane i hipotenuze, a kosinus susjedna stranica?). Jesi li ti nacrtao? Odlično! Završni dodir je da zapišemo gdje ćemo to imati, gdje i tako dalje. Jesi li ga spustio? Fuj) Hajde da uporedimo šta se desilo tebi i meni.

Phew! A sada krenimo sa poređenjem!

Recimo da treba da uporedimo i. Nacrtajte ove uglove koristeći upute u kutijama (gdje smo označili gdje), postavljajući tačke na jedinični krug. Jeste li uspjeli? Evo šta sam dobio.

Sada spustimo okomicu iz tačaka koje smo označili na kružnici na osu... Koju? Koja os pokazuje vrijednost sinusa? U redu, . Ovo bi trebalo da dobijete:

Gledajući ovu sliku, koja je veća: ili? Naravno, jer je poenta iznad tačke.

Na sličan način upoređujemo vrijednost kosinusa. Spuštamo samo okomicu na osu... Tako je, . Shodno tome, gledamo koja je točka desno (ili viša, kao u slučaju sinusa), tada je vrijednost veća.

Verovatno već znate kako da uporedite tangente, zar ne? Sve što treba da znate je šta je tangenta. Dakle, šta je tangenta?) Tako je, omjer sinusa i kosinusa.

Da bismo uporedili tangente, crtamo ugao na isti način kao u prethodnom slučaju. Recimo da treba da uporedimo:

Jesi li ti nacrtao? Sada također označavamo vrijednosti sinusa na koordinatnoj osi. Jeste li primijetili? Sada označite vrijednosti kosinusa na koordinatnoj liniji. Je li uspjelo? uporedimo:

Sada analiziraj šta si napisao. - veliki segment dijelimo na mali. Odgovor će sadržavati vrijednost koja je definitivno veća od jedan. zar ne?

A kad malo podijelimo velikim. Odgovor će biti broj koji je tačno manji od jedan.

Dakle, koji trigonometrijski izraz ima veću vrijednost?

desno:

Kao što sada shvatate, poređenje kotangensa je ista stvar, samo obrnuto: gledamo kako se segmenti koji definišu kosinus i sinus odnose jedan prema drugom.

Pokušajte sami uporediti sljedeće trigonometrijske izraze:

Primjeri.

Odgovori.

POREĐENJE BROJEVA. SREDNJI NIVO.

Koji je broj veći: ili? Odgovor je očigledan. A sada: ili? Nije više tako očigledno, zar ne? Dakle: ili?

Često morate znati koji je numerički izraz veći. Na primjer, da bi se tačke na osi postavile ispravnim redoslijedom prilikom rješavanja nejednačine.

Sada ću vas naučiti kako da uporedite takve brojeve.

Ako trebate uporediti brojeve i, između njih stavljamo znak (izveden od latinske riječi Versus ili skraćeno vs - protiv): . Ovaj znak zamjenjuje nepoznati znak nejednakosti (). Zatim ćemo izvršiti identične transformacije dok ne postane jasno koji znak treba staviti između brojeva.

Suština poređenja brojeva je sledeća: tretiramo znak kao da je neka vrsta znaka nejednakosti. A sa izrazom možemo učiniti sve što obično radimo sa nejednačinama:

  • dodajte bilo koji broj na obje strane (i, naravno, možemo i oduzeti)
  • „pomeriti sve na jednu stranu“, odnosno oduzeti jedan od upoređenih izraza iz oba dela. Na mjestu oduzetog izraza ostat će: .
  • pomnožite ili podijelite istim brojem. Ako je ovaj broj negativan, predznak nejednakosti je obrnut: .
  • podići obje strane na istu snagu. Ako je ova snaga parna, morate se pobrinuti da oba dijela imaju isti znak; ako su oba dijela pozitivna, predznak se ne mijenja kada se podigne na stepen, ali ako su negativni, onda se mijenja u suprotno.
  • izdvojiti korijen istog stepena iz oba dijela. Ako izvlačimo korijen parnog stepena, prvo moramo biti sigurni da oba izraza nisu negativna.
  • bilo koje druge ekvivalentne transformacije.

Važno: preporučljivo je napraviti transformacije tako da se znak nejednakosti ne mijenja! Odnosno, tokom transformacija je nepoželjno množiti negativnim brojem, a ne možete ga kvadrirati ako je jedan od dijelova negativan.

Pogledajmo nekoliko tipičnih situacija.

1. Eksponencijacija.

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Budući da su obje strane nejednakosti pozitivne, možemo je kvadrirati da se riješimo korijena:

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Ovdje ga također možemo kvadrirati, ali to će nam samo pomoći da se riješimo kvadratnog korijena. Ovdje ga je potrebno podići do tog stepena da oba korijena nestanu. To znači da eksponent ovog stepena mora biti djeljiv i sa (stepen prvog korijena) i sa. Ovaj broj se, dakle, diže na stepen:

2. Množenje svojim konjugatom.

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Pomnožimo i podijelimo svaku razliku konjugiranim zbrojem:

Očigledno je imenilac na desnoj strani veći od nazivnika na lijevoj strani. Dakle, desni razlomak je manji od lijevog:

3. Oduzimanje

Zapamtimo to.

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Naravno, mogli bismo sve izjednačiti, pregrupirati se i ponovo poravnati. Ali možete učiniti nešto pametnije:

Može se vidjeti da je na lijevoj strani svaki član manji od svakog člana na desnoj strani.

Prema tome, zbir svih članova na lijevoj strani manji je od zbira svih članova na desnoj strani.

Ali budite oprezni! Pitali su nas šta još...

Desna strana je veća.

Primjer.

Uporedite brojeve i...

Rješenje.

Prisjetimo se trigonometrijskih formula:

Provjerimo u kojim četvrtima trigonometrijskog kruga se nalaze tačke i leže.

4. Divizija.

Ovdje također koristimo jednostavno pravilo: .

Na ili, to jest.

Kada se znak promijeni: .

Primjer.

Uporedite: .

Rješenje.

5. Uporedite brojeve sa trećim brojem

Ako i, onda (zakon tranzitivnosti).

Primjer.

Uporedite.

Rješenje.

Hajde da uporedimo brojeve ne jedni s drugima, već sa brojem.

Očigledno.

Sa druge strane,.

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Oba broja su veća, ali manja. Odaberimo broj takav da je veći od jednog, ali manji od drugog. Na primjer, . provjerimo:

6. Šta raditi s logaritmima?

Ništa posebno. Kako se riješiti logaritama detaljno je opisano u temi. Osnovna pravila su:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \klin (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \klin y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Također možemo dodati pravilo o logaritmima s različitim bazama i istim argumentom:

To se može objasniti na ovaj način: što je baza veća, to je manji stepen potrebno podići da bi se dobila ista stvar. Ako je baza manja, onda je tačno suprotno, jer je odgovarajuća funkcija monotono opadajuća.

Primjer.

Uporedite brojeve: i.

Rješenje.

Prema gore navedenim pravilima:

A sada formula za napredne.

Pravilo za poređenje logaritama se može ukratko napisati:

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Primjer.

Uporedite koji je broj veći: .

Rješenje.

POREĐENJE BROJEVA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

1. Eksponencijacija

Ako su obje strane nejednakosti pozitivne, one se mogu kvadrirati da se riješi korijena

2. Množenje svojim konjugatom

Konjugat je faktor koji nadopunjuje izraz formule razlike kvadrata: - konjugat za i obrnuto, jer .

3. Oduzimanje

4. Divizija

Kada ili to jeste

Kada se znak promeni:

5. Poređenje sa trećim brojem

Ako i tada

6. Poređenje logaritama

Osnovna pravila:

Logaritmi sa različitim bazama i istim argumentom:

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste jako cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za šta?

Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

  1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
  2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 899 RUR

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

I u zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Formule u Excelu će vam pomoći da izračunate ne samo pozitivne, već i negativne brojeve. Za načine pisanja broja s minusom pogledajte članak „Kako unijeti negativan broj u Excel“.
Da nađem zbir negativnih brojeva u Excelu , potrebno Funkcija "SUMIF" u Excelu . Na primjer, imamo takav sto.
Postavite formulu u ćeliju A7. Da biste to učinili, idite na karticu "Formule" u Excel tablici, odaberite "Matematički" i odaberite Excel funkciju "SUMIF".
Popunite linije u prozoru koji se pojavi:
"Raspon" - označavamo sve ćelije kolone ili reda u koje dodajemo brojeve. Za informacije o rasponu u tabeli, pogledajte članak "Šta je raspon u Excelu" .
“Kriterijum” - ovdje pišemo “<0» .
Kliknite na dugme “OK”.

Ispalo je ovako.

Pogledajte formulu u traci formule.Kako postaviti znak "veće od" ili "manje od" u formuli, pogledajte članak "Gdje je dugme na tastaturi?» .
Zbrojite samo pozitivne brojeve u Excelu.
Morate napisati formulu na isti način, samo u liniji prozora funkcije “Kriterijumi” upišite “>0” Ispalo je ovako.

Funkcija "SUMIF" u Excelu može brojati vrijednosti ćelija ne sve u redu, već selektivno prema uvjetu koji upišemo u formulu. Ova funkcija je pogodna za izračunavanje podataka za određeni datum ili narudžbu za određenog kupca, rezultate učenika itd. Pročitajte više o tome kako koristiti ovu funkciju.

Ako dodamo broj 0 lijevo od niza prirodnih brojeva, dobićemo niz pozitivnih cijelih brojeva:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Negativni cijeli brojevi

Pogledajmo mali primjer. Na slici lijevo je termometar koji pokazuje temperaturu od 7°C. Ako temperatura padne za 4°, termometar će pokazati 3° toplote. Smanjenje temperature odgovara djelovanju oduzimanja:

Ako temperatura padne za 7°, termometar će pokazati 0°. Smanjenje temperature odgovara djelovanju oduzimanja:

Ako temperatura padne za 8°, termometar će pokazati -1° (1° ispod nule). Ali rezultat oduzimanja 7 - 8 ne može se napisati korištenjem prirodnih brojeva i nule.

Ilustrirajmo oduzimanje pomoću niza pozitivnih cijelih brojeva:

1) Od broja 7 izbrojite 4 broja lijevo i dobijete 3:

2) Od broja 7 izbrojite 7 brojeva lijevo i dobijete 0:

Nemoguće je izbrojati 8 brojeva od broja 7 lijevo u nizu pozitivnih cijelih brojeva. Da bi akcije 7 - 8 bile izvodljive, širimo raspon pozitivnih cijelih brojeva. Da bismo to učinili, lijevo od nule, pišemo (s desna na lijevo) sve prirodne brojeve, dodajući svakom od njih znak - , što pokazuje da je ovaj broj lijevo od nule.

Unosi -1, -2, -3, ... čitaju minus 1, minus 2, minus 3, itd.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Rezultirajući niz brojeva se zove niz cijelih brojeva. Tačke lijevo i desno u ovom unosu znače da se niz može neograničeno nastaviti desno i lijevo.

Desno od broja 0 u ovom redu se pozivaju brojevi prirodno ili pozitivni cijeli brojevi(ukratko - pozitivno).

Lijevo od broja 0 u ovom redu se pozivaju brojevi cijeli broj negativan(ukratko - negativan).

Broj 0 je cijeli broj, ali nije ni pozitivan ni negativan broj. Odvaja pozitivne i negativne brojeve.

dakle, niz cijelih brojeva sastoji se od negativnih cijelih brojeva, nule i pozitivnih cijelih brojeva.

Integer Comparision

Usporedite dva cijela broja- znači saznati koji je veći, koji manji ili utvrditi da su brojevi jednaki.

Možete upoređivati ​​cijele brojeve koristeći red cijelih brojeva, jer su brojevi u njemu raspoređeni od najmanjeg do najvećeg ako se krećete duž reda slijeva nadesno. Stoga, u nizu cijelih brojeva, možete zamijeniti zareze znakom manje od:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

dakle, od dva cijela broja, veći je broj koji je desno u nizu, a manji je onaj koji je lijevo, znači:

1) Svaki pozitivan broj je veći od nule i veći od bilo kojeg negativnog broja:

1 > 0; 15 > -16

2) Bilo koji negativan broj manji od nule:

7 < 0; -357 < 0

3) Od dva negativna broja veći je onaj koji je desno u nizu cijelih brojeva.

Povezane publikacije: